Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{2 z^{2}+3 z-1}{z-1+i} d z,

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de contorno
\oint_{|z|=2} \frac{2 z^{2}+3 z-1}{z-1+i}\,dz.
Informações dadas:
  • A curva de integração é o círculo |z|=2 centrado na origem com raio 2.
  • A função a integrar é a função racional \displaystyle \frac{2 z^{2}+3 z-1}{z-1+i}.
  • Há um potencial pólo simples quando o denominador é zero, isto é em z=1-i.

Passo 2

Precisamos verificar se o pólo z_{0}=1-i está dentro do círculo |z|=2. Calculemos a norma:
|1-i|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}<2.
Portanto o pólo z_{0}=1-i está dentro da curva de integração.

Passo 3

Teoria necessária (explicada de modo direto e prático):
Se temos uma função da forma \displaystyle \frac{g(z)}{z-z_{0}} com g analítica no interior do contorno e z_{0} no interior, então pela Fórmula Integral de Cauchy (ou pelo cálculo do resíduo de um pólo simples),
\oint \frac{g(z)}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i\, g(z_{0}).
Aqui g(z) é a parte sem o fator (z-z_{0}); o coeficiente de \tfrac{1}{z-z_{0}} na expansão é o resíduo, e para pólo simples esse resíduo é simplesmente g(z_{0}).
Isso nos permite avaliar integrais de forma muito direta: basta avaliar g no pólo e multiplicar por 2\pi i.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso, identificamos
g(z)=2 z^{2}+3 z-1,\qquad z_{0}=1-i.
Devemos calcular o resíduo, que é g(z_{0}). Começamos calculando z_{0}^{2}:
(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i.
Agora calculemos cada termo de g(z_{0}):
2 z_{0}^{2}=2\cdot(-2i)=-4i,
3 z_{0}=3(1-i)=3-3i,
-1=-1.

Passo 5

Somando os termos para obter o resíduo:
g(z_{0}) = (-4i)+(3-3i)+(-1) = (3-1)+(-4i-3i)=2-7i.
Logo o resíduo em z_{0}=1-i é 2-7i.

Passo 6

Pela fórmula de Cauchy / teorema dos resíduos, a integral vale
\oint_{|z|=2}\frac{2 z^{2}+3 z-1}{z-1+i}\,dz = 2\pi i\cdot (2-7i).
Façamos a multiplicação passo a passo:
2\pi i\cdot (2-7i) = 4\pi i -14\pi i^{2} = 4\pi i -14\pi(-1)=4\pi i +14\pi.
Podemos também escrever em fatoração: 2\pi(7+2i).

Resposta

14\pi + 4\pi i

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