Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle
:
,
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de contorno
Informações dadas:
- A curva de integração é o círculo
centrado na origem com raio . - A função a integrar é a função racional
. - Há um potencial pólo simples quando o denominador é zero, isto é em
.
Passo 2
Precisamos verificar se o pólo
está dentro do círculo
. Calculemos a norma:
Portanto o pólo
está dentro da curva de integração.
Passo 3
Teoria necessária (explicada de modo direto e prático):
Se temos uma função da forma com
analítica no interior do contorno e
no interior, então pela Fórmula Integral de Cauchy (ou pelo cálculo do resíduo de um pólo simples),
Se temos uma função da forma
Aqui
é a parte sem o fator
; o coeficiente de
na expansão é o resíduo, e para pólo simples esse resíduo é simplesmente
.
Isso nos permite avaliar integrais de forma muito direta: basta avaliar no pólo e multiplicar por
.
Isso nos permite avaliar integrais de forma muito direta: basta avaliar
Passo 4
Aplicando ao nosso caso, identificamos
Devemos calcular o resíduo, que é
. Começamos calculando
:
Agora calculemos cada termo de
:
Passo 5
Somando os termos para obter o resíduo:
Logo o resíduo em
é
.
Passo 6
Pela fórmula de Cauchy / teorema dos resíduos, a integral vale
Façamos a multiplicação passo a passo:
Podemos também escrever em fatoração:
.