Using the law of cosines, show that Eq. 3.17 can be written as follows:
V(r, theta)=14 pi epsilon0[qraizr^2+a^2-2 r a cos theta-qraizR^2+(r a / R)^2-2 r a cos theta]
where r and theta are the usual spherical polar coordinates, with the z axis along the line through q. In this form it is obvious that V=0 on the sphere, r=R.
Find the induced surface charge on the sphere, as a function of theta. Integrate this to get the total induced charge. (What should it be?)

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
  1. Mostrar que a solução em série (eq. 3.17) pode ser reescrita como
V(r,theta)=14pivarepsilon0gl[qraizr^2+a^2-2,r,acostheta ;-;qraizR^2+l(tfracr,aRr)^2-2,r,acosthetagr]
usando a lei dos cossenos.
2) A partir daí, achar a densidade de carga induzida σ(θ) na superfície do condutor de raio R e depois integrar σ(θ) sobre a esfera para obter a carga total induzida.
Conteúdo: potencial eletrostático em coordenadas esféricas, método de imagens, lei dos cossenos e a fórmula para σ na superfície de um condutor (σ=−ε₀∂V/∂n).
Para resolver vamos precisar de:
• Expressar as distâncias “ponto–carga” com lei dos cossenos.
• Calcular derivada radial de V em r=R.
• Integrar em θ usando u=cosθ.

Passo 2

Primeiro, distância entre um ponto genérico (r,θ) e a carga real q, que está no eixo z a uma distância a do centro. No triângulo formados pelos segmentos r, a e a reta que liga o ponto a q vale a lei dos cossenos:
d1=l|vec r-vec ar| =raizr^2+a^2-2,r,acostheta,
Do mesmo modo, aparece na solução uma “segunda distância”
d2=raizR^2+l(r,aRr)^2-2,r,acostheta,,
que é o que aparece se você somar a série em Legendre – não é a distância física de nenhuma carga, mas sim o resultado de fechar a série em forma de função geradora.
Substituindo essas duas expressões em
V=14pivarepsilon0l[qd1-qd2r]
já fica exatamente a forma pedida.

Passo 3

Agora a densidade de carga induzida na superfície do condutor (r=R) vem de
sigma(theta)=-varepsilon0lpartial Vpartial rr|r=R,
Vamos derivar cada termo:
  1. Para partialpartial r!l(tfrac1d1r) =-r - acostheta(r^2+a^2-2racostheta)^3/2 com partialpartial r!l(tfrac1d2r) =-,tfrac2a^2R^2r -2acostheta2,[,d2!]^3 =-tfraca^2R-acostheta(R^2+(ra/R)^2-2racostheta)^3/2 ,
lpartial Vpartial rr|r=R =q4pivarepsilon0,D^3 l[-(R-acostheta)+l(tfraca^2R-acosthetar)r] =q4pivarepsilon0,D^3,l(a^2R-Rr)
  1. Para sigma(theta) =-varepsilon0partial Vpartial r =q4pi,D^3,l(R-a^2Rr), D(theta)=l(R^2+a^2-2aRcosthetar)^1/2 com ,
Então, em , como ,
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Passo 4

Para a carga total induzida
Qrm ind =integral duplarm esferasigma(theta),dA =2pi R^2integral0^pisigma(theta)sintheta,dtheta
Substituindo σ e colocando Qrm ind =q,R^22l(R-tfraca^2Rr) integral-1^1dul(R^2+a^2-2aR,ur)^3/2 =;-,qRa , obtemos
(O cálculo da integral usa .)

Resposta

Densidade induzida:
sigma(theta) =q4pi,,R-tfraca^2R, l(R^2+a^2-2aRcosthetar)^3/2
Carga total induzida:
Qrm ind=-,q,Ra,

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