Using the law of cosines, show that Eq. 3.17 can be written as follows:
where and are the usual spherical polar coordinates, with the axis along the line through . In this form it is obvious that on the sphere, .
Find the induced surface charge on the sphere, as a function of . Integrate this to get the total induced charge. (What should it be?)
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas:
Mostrar que a solução em série (eq. 3.17) pode ser reescrita como
usando a lei dos cossenos.
2) A partir daí, achar a densidade de carga induzida σ(θ) na superfície do condutor de raio R e depois integrar σ(θ) sobre a esfera para obter a carga total induzida.
Conteúdo: potencial eletrostático em coordenadas esféricas, método de imagens, lei dos cossenos e a fórmula para σ na superfície de um condutor (σ=−ε₀∂V/∂n).
Para resolver vamos precisar de:
• Expressar as distâncias “ponto–carga” com lei dos cossenos.
• Calcular derivada radial de V em r=R.
• Integrar em θ usando u=cosθ.
Passo 2
Primeiro, distância entre um ponto genérico (r,θ) e a carga real q, que está no eixo z a uma distância a do centro. No triângulo formados pelos segmentos r, a e a reta que liga o ponto a q vale a lei dos cossenos:
Do mesmo modo, aparece na solução uma “segunda distância”
d2=raizR^2+l(r,aRr)^2-2,r,acostheta,,
que é o que aparece se você somar a série em Legendre – não é a distância física de nenhuma carga, mas sim o resultado de fechar a série em forma de função geradora.
Substituindo essas duas expressões em
V=14pivarepsilon0l[qd1-qd2r]
já fica exatamente a forma pedida.
Passo 3
Agora a densidade de carga induzida na superfície do condutor (r=R) vem de