The potential at the surface of a sphere (radius R) is given by
V0=k cos 3 theta
where k is a constant. Find the potential inside and outside the sphere, as well as the surface charge density sigma(theta) on the sphere. (Assume theres no charge inside or outside the sphere.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a superfície de uma esfera de raio V0(theta)=kcos3theta está com potencial
e não tem carga nem dentro nem fora da esfera. A matéria aqui é Eletrostática (equação de Laplace em coordenadas esféricas) e vamos precisar:
  • Resolver a equação de Laplace ( ) dentro ( ) e fora ( ).
  • Usar expansão em harmônicos esféricos (aqui só aparece porque tem ).
  • Ajustar constantes pelos contornos em .
  • Calcular a densidade de carga na superfície via salto do campo elétrico normal ( ).

Passo 2

Primeiro, em regiões sem carga, nabla^2V=0 satisfaz
V(r,theta)=sumell=0^infty(Aell,r^ell + Bell,r^-(ell+1))Pell(costheta)
Em coordenadas esféricas, a solução geral com simetria azimutal é
Como o potencial na superfície é , só aparece o termo , pois .

Passo 3

Então a gente escreve:
  • Dentro ( Vrm in(r,theta)=A3,r^3,P3(costheta) ), não pode ter Vrm out(r,theta)=B3,r^-4,P3(costheta) que diverge em . Fica
  • Fora ( ), não pode ter o termo (explode em ). Fica

Passo 4

Na fronteira Vrm in(R,theta)=A3,R^3,P3(costheta)=k,P3(costheta) Longrightarrow A3=kR^3, , o potencial tem de bater com Vrm out(R,theta)=B3,R^-4,P3(costheta)=k,P3(costheta) Longrightarrow B3=k,R^4 . Logo:

Passo 5

Agora temos os potenciais completos:
Vrm in(r,theta)=k,r^3R^3,P3(costheta), Vrm out(r,theta)=k,R^4r^4,P3(costheta)

Passo 6

Para achar sigma=-varepsilon0l[partialrVrm out-partialrVrm inr]r=R , usamos
partialrVrm in=partialr!(kr^3R^3P3) =3kr^2R^3P3, partialrVrm out=partialr!(kR^4r^4P3) =-4kR^4r^5P3
Calculemos as derivadas radiais:
partialrVrm in|R=3kRP3, partialrVrm out|R=-4kRP3
Em sigma=-varepsilon0(-4kRP3-3kRP3) =7varepsilon0,kR,P3(costheta) :
Então
Lembrando .

Resposta

Potencial dentro ( boxedVrm in(r,theta)=k,r^3R^3,P3(costheta) ):
boxedVrm out(r,theta)=k,R^4r^4,P3(costheta)
Potencial fora ( boxedsigma(theta)=7varepsilon0,kR,P3(costheta) =7varepsilon0,k2Rl(5cos^3theta-3costhetar) ):
Densidade de carga na superfície ( ):

Exercícios relacionados