The potential at the surface of a sphere (radius ) is given by
where is a constant. Find the potential inside and outside the sphere, as well as the surface charge density on the sphere. (Assume theres no charge inside or outside the sphere.)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a superfície de uma esfera de raio está com potencial
e não tem carga nem dentro nem fora da esfera. A matéria aqui é Eletrostática (equação de Laplace em coordenadas esféricas) e vamos precisar:
Resolver a equação de Laplace () dentro () e fora ().
Usar expansão em harmônicos esféricos (aqui só aparece porque tem ).
Ajustar constantes pelos contornos em .
Calcular a densidade de carga na superfície via salto do campo elétrico normal ().
Passo 2
Primeiro, em regiões sem carga, satisfaz
Em coordenadas esféricas, a solução geral com simetria azimutal é
Como o potencial na superfície é , só aparece o termo , pois .
Passo 3
Então a gente escreve:
Dentro (), não pode ter que diverge em . Fica
Fora (), não pode ter o termo (explode em ). Fica
Passo 4
Na fronteira , o potencial tem de bater com . Logo:
Passo 5
Agora temos os potenciais completos:
Passo 6
Para achar , usamos
Calculemos as derivadas radiais:
Em :
Então
Lembrando .
Resposta
Potencial dentro ( boxedVrm in(r,theta)=k,r^3R^3,P3(costheta) ):
boxedVrm out(r,theta)=k,R^4r^4,P3(costheta)
Potencial fora ( boxedsigma(theta)=7varepsilon0,kR,P3(costheta) =7varepsilon0,k2Rl(5cos^3theta-3costhetar) ):