USP, Cálculo 1, P1-2024.1, Questão 1b
Decida se os limites abaixo existem e calcule-os em caso afirmativo. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe e, em caso afirmativo, calculá-lo. O conteúdo é cálculo de limite com forma indeterminada , e vamos precisar da fatoração de polinômios e da identidade clássica .
Passo 2
Começando, avaliamos numerador e denominador em :
x^3-27|x=3=27-27=0
Como ambos vão a zero, temos indeterminação 0/0, então seguimos para manipular algebricamente.
Passo 3
Agora, fatoramos o argumento do sin e o denominador:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)
Passo 4
Reescrevemos o limite como produto usando u=(x-2)(x-3):