USP, Cálculo 1, P1-2024.1, Questão 1b
Decida se os limites abaixo existem e calcule-os em caso afirmativo. Justifique sua resposta.
lim x 3 sin (x^2-5 x+6)x^3-27

Passo 1

O enunciado pede para decidir se limxto3 sin(x^2-5x+6)x^3-27 existe e, em caso afirmativo, calculá-lo. O conteúdo é cálculo de limite com forma indeterminada 0/0, e vamos precisar da fatoração de polinômios e da identidade clássica limuto0sin(u)u=1.

Passo 2

Começando, avaliamos numerador e denominador em x=3:
x^2-5x+6|x=3=9-15+6=0,
x^3-27|x=3=27-27=0
Como ambos vão a zero, temos indeterminação 0/0, então seguimos para manipular algebricamente.

Passo 3

Agora, fatoramos o argumento do sin e o denominador:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)

Passo 4

Reescrevemos o limite como produto usando u=(x-2)(x-3):
sin((x-2)(x-3))x^3-27=sin(u)ucdot(x-2)(x-3)(x-3)(x^2+3x+9)

Passo 5

No limite xto3, temos u=(x-2)(x-3)to0, então
limxto3sin(u)u=1

Passo 6

O segundo fator simplifica cancelando (x-3):
(x-2)(x-3)(x-3)(x^2+3x+9)=x-2x^2+3x+9,
e ao levar xto3 ficamos com
3-23^2+3cdot3+9=19+9+9=127

Passo 7

Multiplicando os dois resultados, o limite é 1cdottfrac127=tfrac127.

Resposta

tfrac127

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