Utilizando o Método de Newton-Raphson, determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações, se possível. Compute o erro numérico de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada, ou seja,
. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico.
2-)
, pertencente ao intervalo
.
2-)
Passo 1
Estamos tratando da função
no intervalo
. O conteúdo é Método de Newton–Raphson para encontrar raízes de funções reais, e vamos precisar do Teorema de Bolzano para garantir existência de raiz e da fórmula de iteração de Newton.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Bolzano calculando os sinais de
nas extremidades:
Passo 3
Como
, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
A derivada necessária e a fórmula de Newton são:
Passo 5
Escolhemos como chute inicial o ponto médio
e computamos cinco iterações, registrando o erro
:
Iteração 1:
Iteração 1:
Passo 6
Iteração 2:
Passo 7
Iteração 3:
Passo 8
Das iterações 3 em diante a mudança é desprezível, então:
Iteração 4: ,
Iteração 5: ,
Iteração 4:
Iteração 5:
Resposta
Após 5 iterações, a raiz aproximada é
com erro numérico
.