Utilizando o Método de Newton-Raphson, determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações, se possível. Compute o erro numérico de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada, ou seja, (|f(xk)|=varepsilon). Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico.
2-) f(x)=cos (x)-ln (x), pertencente ao intervalo I=[1 ; 2].

Passo 1

Estamos tratando da função f(x)=cos(x)-ln(x) no intervalo [1,2]. O conteúdo é Método de Newton–Raphson para encontrar raízes de funções reais, e vamos precisar do Teorema de Bolzano para garantir existência de raiz e da fórmula de iteração de Newton.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Bolzano calculando os sinais de f nas extremidades:
f(1)=cos(1)-ln(1)=0.5403023059-0=0.5403023059>0
f(2)=cos(2)-ln(2)=-0.4161468365-0.6931471806=-1.1092940171<0

Passo 3

Como f(1)cdot f(2)<0, existe pelo menos uma raiz em [1,2].

Passo 4

A derivada necessária e a fórmula de Newton são:
f'(x)=-sin(x)-1x
xk+1=xk-f(xk)f'(xk)

Passo 5

Escolhemos como chute inicial o ponto médio x0=1.5 e computamos cinco iterações, registrando o erro varepsilonk=|f(xk)|:
Iteração 1:
f(x0)=f(1.5)=cos(1.5)-ln(1.5)=0.0707372017-0.4054651081=-0.3347279064
f'(x0)=-sin(1.5)-tfrac11.5=-0.9974949866-0.6666666667=-1.6641616533
x1=1.5--0.3347279064-1.6641616533=1.2989159156
varepsilon1=|f(x1)|=0.0067527979

Passo 6

Iteração 2:
f(x1)=cos(1.2989159156)-ln(1.2989159156)=0.2682830255-0.2615302276=0.0067527979
f'(x1)=-sin(1.2989159156)-tfrac11.2989159156=-0.9632685088-0.7696461445=-1.7329146533
x2=1.2989159156-0.0067527979-1.7329146533=1.3028159240
varepsilon2=|f(x2)|=0.0000038716

Passo 7

Iteração 3:
x3=1.3028159240-f(1.3028159240)f'(1.3028159240)=1.3028139596
varepsilon3=|f(x3)|=1.157times10^-11

Passo 8

Das iterações 3 em diante a mudança é desprezível, então:
Iteração 4: x4approx1.3028139596, varepsilon4approx0
Iteração 5: x5approx1.3028139596, varepsilon5approx0

Resposta

Após 5 iterações, a raiz aproximada é xapprox1.3028139596 com erro numérico varepsilon=|f(x)|approx0.

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