Considere a equação
, com
. Mostre que:
é uma solução da equação (*), onde
e
são raízes distintas da equação característica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $, onde $ a \neq 0 $. Queremos mostrar que a função $ \varphi(t) = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t} $ resolve essa equação, sabendo que $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são raízes distintas da equação característica. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a ideia da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver essa equação diferencial, a gente assume soluções do tipo exponencial, ou seja, $ y = e^{r t} $. Quando fazemos isso, substituímos na equação para encontrar uma relação para $ r $. Essa relação é chamada de equação característica. No nosso caso, a equação característica é $ a r^2 + b r + c = 0 $. As soluções $ r_{1} $ e $ r_{2} $ dessa equação nos dão as partes do exponente nas funções soluções.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ \varphi(t) $. Temos:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir $ \varphi(t) $, $ \varphi’(t) $ e $ \varphi’’(t) $ na equação diferencial original:
Substituindo, temos:
Passo 5
Agora, vamos fatorar os termos semelhantes:
Sabemos que $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são raízes da equação característica $ a r^2 + b r + c = 0 $. Isso significa que:
Portanto, a expressão acima fica:
Ou seja:
Resposta
Concluímos que $ \varphi(t) = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t} $ realmente é uma solução da equação diferencial $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $ quando $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são raízes distintas da equação característica.