Considere a equação a y^prime prime+b y^prime+c y=0(*), com a neq 0. Mostre que:
varphi(t)=C1 e^r1 t+C2 e^r2 t é uma solução da equação (*), onde r1 e r2 são raízes distintas da equação característica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $, onde $ a \neq 0 $. Queremos mostrar que a função $ \varphi(t) = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t} $ resolve essa equação, sabendo que $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são raízes distintas da equação característica. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a ideia da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver essa equação diferencial, a gente assume soluções do tipo exponencial, ou seja, $ y = e^{r t} $. Quando fazemos isso, substituímos na equação para encontrar uma relação para $ r $. Essa relação é chamada de equação característica. No nosso caso, a equação característica é $ a r^2 + b r + c = 0 $. As soluções $ r_{1} $ e $ r_{2} $ dessa equação nos dão as partes do exponente nas funções soluções.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ \varphi(t) $. Temos:
varphi(t)
A primeira derivada é:
varphi(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
E a segunda derivada é:
varphi'(t) = C1 r1 e^r1 t + C2 r2 e^r2 t

Passo 4

Vamos substituir $ \varphi(t) $, $ \varphi’(t) $ e $ \varphi’’(t) $ na equação diferencial original:
varphi(t)
Substituindo, temos:
varphi'(t)

Passo 5

Agora, vamos fatorar os termos semelhantes:
C1 e^r1 t (a r1^2 + b r1 + c) + C2 e^r2 t (a r2^2 + b r2 + c) = 0
Sabemos que $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são raízes da equação característica $ a r^2 + b r + c = 0 $. Isso significa que:
r1
Portanto, a expressão acima fica:
r2
Ou seja:
a r^2 + b r + c = 0

Resposta

Concluímos que $ \varphi(t) = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t} $ realmente é uma solução da equação diferencial $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $ quando $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são raízes distintas da equação característica.

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