Utiliza o teste da integral para verificar se a série a seguir converge ou diverge.
sumn=1^infty 1n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1} $ e queremos saber se ela converge (isto é, soma até um certo valor) ou diverge (soma pra infinito). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que faz parte do estudo de séries e integrais no cálculo. Precisamos verificar as condições do teste e calcular uma integral relacionada para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a função $ f(n) = \frac{1}{n^{2}+1} $ atende aos requisitos do Teste da Integral. Precisamos que:
  1. Seja positiva: $ f(n) > 0 $ para todo $ n \geq 1 $. Tá aí, porque $ n^{2} + 1 $ é sempre positivo.
  2. Seja contínua: A função é contínua para todo $ n \geq 1 $, já que não tem nenhum ponto onde o denominador é zero.
  3. Seja decrescente: À medida que $ n $ aumenta, $ n^{2}+1 $ aumenta, então $ \frac{1}{n^{2}+1} $ diminui. Ou seja, a função está decrescendo.
Como todas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral correspondente para ver se ela converge ou diverge. A integral que vamos analisar é:
integral1^infty 1x^2+1 , dx
Sabemos que:
integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C
Então, avaliando de 1 até o infinito:
limb to infty [ arctan(b) - arctan(1) ] = pi2 - pi4 = pi4
Como $ \frac{\pi}{4} $ é um número finito, a integral converge.

Resposta

Pelo Teste da Integral, como a integral associada converge, a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1} $ também converge.

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