Inverta a ordem de integração e calcule a integral
Passo 1
Temos a integral dada. Vou resumir o enunciado: inverter a ordem de integração de
e calculá-la. O conteúdo envolve integração iterada e Teorema de Fubini, além de substituições em integrais simples.
Passo 2
O próximo passo é entender a região de integração D no plano xy. A condição interna junto com define D. Reescrevendo como , vemos que para cada x o y varia de 0 até . Como implica , obtemos . Com isso, invertemos a ordem e reescrevemos a integral como
.
Passo 3
Agora calculamos a integral interna em y, tratando x como constante: . A integral reduzida fica integral0^2 x^2 e^x^3 ,dx. Para resolvê-la, fazemos a substituição u = x^3, logo du = 3x^2,dx, ou seja x^2,dx = tfrac13,du. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=8. Em u, a integral torna-se integral0^8 e^u cdot tfrac13,du = tfrac13integral0^8 e^u ,du = tfrac13(e^8 - 1).