Inverta a ordem de integração e calcule a integral
integral0^4 integralraizy^2 e^x^3 d x d y

Passo 1

Temos a integral dada. Vou resumir o enunciado: inverter a ordem de integração de
integral0^4 integralraizy^2 e^x^3 ,dx,dy
e calculá-la. O conteúdo envolve integração iterada e Teorema de Fubini, além de substituições em integrais simples.

Passo 2

O próximo passo é entender a região de integração D no plano xy. A condição interna raizy <= x <= 2 junto com 0 <= y <= 4 define D. Reescrevendo raizy <= x como y <= x^2, vemos que para cada x o y varia de 0 até x^2. Como raizy <= 2 implica y <= 4, obtemos 0 <= x <= 2. Com isso, invertemos a ordem e reescrevemos a integral como
integral0^2 integral0^x^2 e^x^3 ,dy,dx .

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y, tratando x como constante: integral0^x^2 e^x^3 ,dy = y, e^x^3|0^x^2 = x^2 e^x^3. A integral reduzida fica integral0^2 x^2 e^x^3 ,dx. Para resolvê-la, fazemos a substituição u = x^3, logo du = 3x^2,dx, ou seja x^2,dx = tfrac13,du. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=8. Em u, a integral torna-se integral0^8 e^u cdot tfrac13,du = tfrac13integral0^8 e^u ,du = tfrac13(e^8 - 1).

Resposta

tfrace^8 - 13

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