Considere a série
para resolver os itens abaixo.
Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita representada por:
E a tarefa é encontrar uma fórmula para as somas parciais dessa série, ou seja, para a sequência
onde cada
é a soma dos primeiros
termos dessa série.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e somas parciais, especialmente como lidar com termos que têm partes constantes e partes que envolvem um crescimento linear multiplicado por uma razão geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que é a soma parcial
. Ela é a soma dos primeiros
termos da série:
Vamos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Agora, temos duas somas para resolver: uma soma geométrica simples e uma soma que envolve um termo linear
multiplicado por uma razão geométrica.
Passo 3
Vamos resolver a primeira soma:
Isso é uma série geométrica onde cada termo é
. Sabemos que a soma de uma série geométrica finita
é dada por:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda soma:
Essa soma é um pouco mais complicada porque envolve o termo
. Mas podemos simplificar fatorando
:
Para resolver
, usamos uma fórmula conhecida para somas do tipo
:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos juntar as duas partes que resolvemos:
Vamos simplificar isso passo a passo:
- Distribuir o
na primeira parte:
- Subtrair a segunda parte inteira:
- Combinar os termos constantes e os que têm
no denominador:
Resposta
A fórmula para a sequência das somas parciais é: