Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais Sn.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita representada por:
sumn=1^+infty 1 - n2^n+1
E a tarefa é encontrar uma fórmula para as somas parciais dessa série, ou seja, para a sequência Sn onde cada Sn é a soma dos primeiros n termos dessa série.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e somas parciais, especialmente como lidar com termos que têm partes constantes e partes que envolvem um crescimento linear multiplicado por uma razão geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que é a soma parcial Sn. Ela é a soma dos primeiros n termos da série:
Sn = sumk=1^n 1 - k2^k+1
Vamos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Sn = sumk=1^n 12^k+1 - sumk=1^n k2^k+1
Agora, temos duas somas para resolver: uma soma geométrica simples e uma soma que envolve um termo linear k multiplicado por uma razão geométrica.

Passo 3

Vamos resolver a primeira soma:
sumk=1^n 12^k+1
Isso é uma série geométrica onde cada termo é 12^k+1. Sabemos que a soma de uma série geométrica finita sumk=1^n r^k é dada por:
sumk=1^n r^k = r(1 - r^n)1 - r
Aqui, r = 12, então:
sumk=1^n 12^k+1 = 12^2 cdot 1 - (12)^n1 - 12 = 14 cdot 1 - 12^n12 = 12(1 - 12^n)

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda soma:
sumk=1^n k2^k+1
Essa soma é um pouco mais complicada porque envolve o termo k. Mas podemos simplificar fatorando 12:
sumk=1^n k2^k+1 = 12 sumk=1^n k2^k
Para resolver sumk=1^n k2^k, usamos uma fórmula conhecida para somas do tipo sumk=1^n k r^k:
sumk=1^n k r^k = r(1 - (n + 1)r^n + nr^n+1)(1 - r)^2
Substituindo r = 12:
sumk=1^n k2^k = 12 (1 - (n + 1)(12)^n + n(12)^n+1)(1 - 12)^2 = 2 - n + 22^n
Portanto:
sumk=1^n k2^k+1 = 12 (2 - n + 22^n) = 1 - n + 22^n+1

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas partes que resolvemos:
Sn = (12(1 - 12^n)) - (1 - n + 22^n+1)
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Distribuir o 12 na primeira parte:
12 - 12^n+1
  1. Subtrair a segunda parte inteira:
12 - 12^n+1 - 1 + n + 22^n+1
  1. Combinar os termos constantes e os que têm 2^n+1 no denominador:
(12 - 1) + (-12^n+1 + n + 22^n+1) = -12 + n + 12^n+1

Resposta

A fórmula para a sequência das somas parciais é:
Sn = -12 + n + 12^n+1

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