Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
q -> p

Passo 1

O enunciado dá a fórmula q \to p e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” e “negação” (ou seja, apenas \lor e \lnot).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula inicial é q \to p.
  • As únicas conectivos permitidos na resposta são \lor e \lnot.
  • As variáveis envolvidas são p e q.

Passo 2

Lembrar o significado lógico de uma implicação material: a fórmula A \to B é falsa apenas quando A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos ela é verdadeira. Isso é uma definição operacional que usamos para equivalências.

Passo 3

Usar a equivalência padrão da lógica proposicional (material implication). A equivalência é:
A \to B \equiv \lnot A \lor B.
Aqui cada símbolo significa:
  • A e B são fórmulas quaisquer (no nosso caso A será q e B será p);
  • \lnot A é a negação de A;
  • \lor é o “ou” lógico (disjunção).
    Aplicando com A=q e B=p obtemos a forma desejada:
q \to p \equiv \lnot q \lor p.

Passo 4

Para ficar totalmente convencido, confira a igualdade dos valores de verdade com uma tabela mental (mostrada em texto):
  • Se q=\text{V} e p=\text{V}: q\to p=\text{V}; \lnot q=\text{F}; \lnot q \lor p=\text{F}\lor\text{V}=\text{V}.
  • Se q=\text{V} e p=\text{F}: q\to p=\text{F}; \lnot q=\text{F}; \lnot q \lor p=\text{F}\lor\text{F}=\text{F}.
  • Se q=\text{F} e p=\text{V}: q\to p=\text{V}; \lnot q=\text{V}; \lnot q \lor p=\text{V}\lor\text{V}=\text{V}.
  • Se q=\text{F} e p=\text{F}: q\to p=\text{V}; \lnot q=\text{V}; \lnot q \lor p=\text{V}\lor\text{F}=\text{V}.
    Em todas as linhas os valores coincidem, confirmando a equivalência.

Passo 5

Resumo prático para prova: sempre que aparecer q \to p e precisarem só de \lor e \lnot, troque direto por \lnot q \lor p. É uma substituição padrão e muito usada em demonstrações e transformações formais.

Resposta

\lnot q \lor p

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