Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão equivalente à seguinte fórmula, usando apenas os conectivos “ou” (
) e negação (
):
Informações dadas:
- A fórmula original é
. - O objetivo é reescrevê-la usando apenas
e .
Passo 2
Primeiro, lembrar a equivalência básica do condicional:
é logicamente equivalente a
. Isso é fundamental e muito usado em provas rápidas:
- Intuição: "se
então " é falso apenas quando é verdadeiro e falso; a disjunção captura exatamente isso.
Aplicando essa equivalência a
temos:
Portanto a expressão original vira
Passo 3
Agora simplificamos a expressão interna
. Para isso usamos a lei distributiva:
Tomando
,
,
, obtemos
Note que
é uma tautologia (sempre verdadeira). Então
Logo
Passo 4
Voltando à negação externa, temos
Aplicando a lei de De Morgan (que diz que
) obteríamos
, mas como queremos a forma final usando apenas
e
, vamos manter a forma com
dentro da negação.
Passo 5
Explicando a escolha da forma final:
já usa somente
e
, portanto atende exatamente ao pedido. Para confirmar, pela lei de De Morgan
ou seja, ambas as formas são equivalentes; mas a forma
é a representação que usa apenas os conectivos permitidos.