Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
\sim(\mathrm{p}->(\sim \mathrm{q} \wedge \mathrm{p}))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão equivalente à seguinte fórmula, usando apenas os conectivos “ou” ( \vee) e negação ( \sim):
\sim\bigl(p \to (\sim q \wedge p)\bigr).
Informações dadas:
  • A fórmula original é \sim\bigl(p \to (\sim q \wedge p)\bigr).
  • O objetivo é reescrevê-la usando apenas \vee e \sim.

Passo 2

Primeiro, lembrar a equivalência básica do condicional: A \to B é logicamente equivalente a \sim A \vee B. Isso é fundamental e muito usado em provas rápidas:
  • Intuição: "se A então B" é falso apenas quando A é verdadeiro e B falso; a disjunção \sim A \vee B captura exatamente isso.
Aplicando essa equivalência a p \to (\sim q \wedge p) temos:
p \to (\sim q \wedge p)\equiv \sim p \vee (\sim q \wedge p).
Portanto a expressão original vira
\sim\bigl(\sim p \vee (\sim q \wedge p)\bigr).

Passo 3

Agora simplificamos a expressão interna \sim p \vee (\sim q \wedge p). Para isso usamos a lei distributiva:
X \vee (Y \wedge Z)\equiv (X \vee Y)\wedge (X \vee Z).
Tomando X=\sim p, Y=\sim q, Z=p, obtemos
\sim p \vee (\sim q \wedge p)\equiv (\sim p \vee \sim q)\wedge (\sim p \vee p).
Note que \sim p \vee p é uma tautologia (sempre verdadeira). Então
(\sim p \vee \sim q)\wedge (\sim p \vee p)\equiv (\sim p \vee \sim q)\wedge \top \equiv \sim p \vee \sim q.
Logo
p \to (\sim q \wedge p)\equiv \sim p \vee \sim q.

Passo 4

Voltando à negação externa, temos
\sim\bigl(p \to (\sim q \wedge p)\bigr)\equiv \sim(\sim p \vee \sim q).
Aplicando a lei de De Morgan (que diz que \sim(A\vee B)\equiv \sim A\wedge \sim B) obteríamos p\wedge q, mas como queremos a forma final usando apenas \vee e \sim, vamos manter a forma com \vee dentro da negação.

Passo 5

Explicando a escolha da forma final: \sim(\sim p \vee \sim q) já usa somente \vee e \sim, portanto atende exatamente ao pedido. Para confirmar, pela lei de De Morgan
\sim(\sim p \vee \sim q)\equiv p\wedge q,
ou seja, ambas as formas são equivalentes; mas a forma \sim(\sim p \vee \sim q) é a representação que usa apenas os conectivos permitidos.

Resposta

\sim(\sim p \vee \sim q)

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