Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
Passo 1
O enunciado dá a fórmula
e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” (
) e negação (
).
Informações relevantes: a expressão inicial contém ,
e
. Objetivo: eliminar o
mantendo equivalência lógica, ficando só com
e
.
Informações relevantes: a expressão inicial contém
Passo 2
Aplicar a lei distributiva (uma técnica padrão na álgebra proposicional). A lei distributiva diz que, para quaisquer proposições
,
Usando
,
,
, obtemos
Passo 3
Simplificar o termo
. Esse termo é uma contradição: uma proposição e a sua negação não podem ser verdadeiras simultaneamente, portanto
onde
representa a proposição sempre falsa.
Passo 4
Usar a identidade lógica que diz
. Aplicando ao resultado do Passo 2:
Ou seja, a expressão original é equivalente a
.
Passo 5
Agora transformar
em uma fórmula que use apenas
e
. Usamos a lei de De Morgan combinada com dupla negação. A versão de De Morgan para conjunção é:
Aplicando com
e
, obtemos
Explicação rápida:
é verdadeira exatamente quando nem
nem
são verdadeiros, isto é, quando
e
são ambos verdadeiros — mesma condição de
.
Passo 6
Conclusão: substituindo o resultado do Passo 5 na cadeia de equivalências, a fórmula original é equivalente à fórmula que usa somente
e
: