Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos ou (v) ou negação (~)
\mathrm{p} \wedge(\sim \mathrm{p} \vee \mathrm{q})

Passo 1

O enunciado dá a fórmula \displaystyle p \wedge (\sim p \vee q) e pede uma expressão equivalente que use apenas os conectivos “ou” ( \vee) e negação ( \sim).
Informações relevantes: a expressão inicial contém \wedge, \vee e \sim. Objetivo: eliminar o \wedge mantendo equivalência lógica, ficando só com \vee e \sim.

Passo 2

Aplicar a lei distributiva (uma técnica padrão na álgebra proposicional). A lei distributiva diz que, para quaisquer proposições a,b,c,
a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c).
Usando a=p, b=\sim p, c=q, obtemos
\displaystyle p \wedge (\sim p \vee q) = (p \wedge \sim p) \vee (p \wedge q).

Passo 3

Simplificar o termo (p \wedge \sim p). Esse termo é uma contradição: uma proposição e a sua negação não podem ser verdadeiras simultaneamente, portanto
\displaystyle p \wedge \sim p \equiv \bot,
onde \bot representa a proposição sempre falsa.

Passo 4

Usar a identidade lógica que diz \bot \vee X \equiv X. Aplicando ao resultado do Passo 2:
\displaystyle (p \wedge \sim p) \vee (p \wedge q) \equiv \bot \vee (p \wedge q) \equiv p \wedge q.
Ou seja, a expressão original é equivalente a \displaystyle p \wedge q.

Passo 5

Agora transformar \displaystyle p \wedge q em uma fórmula que use apenas \vee e \sim. Usamos a lei de De Morgan combinada com dupla negação. A versão de De Morgan para conjunção é:
\displaystyle a \wedge b \equiv \sim(\sim a \vee \sim b).
Aplicando com a=p e b=q, obtemos
\displaystyle p \wedge q \equiv \sim(\sim p \vee \sim q).
Explicação rápida: \sim(\sim p \vee \sim q) é verdadeira exatamente quando nem \sim p nem \sim q são verdadeiros, isto é, quando p e q são ambos verdadeiros — mesma condição de p\wedge q.

Passo 6

Conclusão: substituindo o resultado do Passo 5 na cadeia de equivalências, a fórmula original é equivalente à fórmula que usa somente \vee e \sim:
\displaystyle \sim(\sim p \vee \sim q).

Resposta

\sim(\sim p \vee \sim q)

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