Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v};

Passo 1

O que o problema pede: calcular, em coordenadas cartesianas, a expressão \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}.
Informações dadas (explícitas para usar na resolução):
\mathbf{v} \text{ é um campo vetorial quaisquer com componentes } v_ié
\nabla \text{ é o operador nabla, cujas componentes cartesianas são } \partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i}éã
Work que vamos fazer: manipular a expressão em notação tensorial/indexada (usando soma de Einstein) e, no fim, escrever as componentes explícitas em coordenadas cartesianas (3D) para você saber aplicar direto na prova.

Passo 2

Breve explicação da notação que vou usar (para você não se perder):
  • Vou escrever o vetor como \mathbf{v}=v_i\mathbf{e}_i, onde \mathbf{e}_i são os vetores da base cartesiana (espaço euclidiano).
  • Em notação de índices, repetição de um índice significa soma (convenção de Einstein). Ex.: a_i b_i = \sum_{i=1}^{3} a_i b_i.
  • O operador nabla em componentes é \nabla=\mathbf{e}_i\partial_i, com \partial_i=\dfrac{\partial}{\partial x_i}.
  • Importante: em coordenadas cartesianas a base é constante, portanto \partial_k \mathbf{e}_i = \mathbf{0}. Isso simplifica derivadas de vetores escritos na base cartesiana.

Passo 3

Interprete o produto escalar entre \mathbf{v} e \nabla como um operador direcional:
\mathbf{v}\cdot\nabla = v_i \partial_i.
Aqui v_i são funções de posição e \partial_i é o operador diferencial. A expressão v_i\partial_i representa o operador diferencial "na direção de \mathbf{v}".

Passo 4

Aplique esse operador ao vetor \mathbf{v}. Escrevendo tudo em índice:
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = v_i\partial_i\bigl(v_j\mathbf{e}_j\bigr).
Agora precisamos derivar o produto v_j\mathbf{e}_j. Em coordenadas cartesianas a base não depende da posição, então a derivada age só nas componentes v_j.

Passo 5

Derivando e simplificando usando \partial_i\mathbf{e}_j=\mathbf{0}:
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = v_i(\partial_i v_j)\mathbf{e}_j.
Esta é a forma indexada final: cada componente j do vetor resultado é v_i\partial_i v_j. Em palavras: "a componente j do termo convectivo é a soma sobre i de v_i vezes a derivada parcial de v_j em relação a x_i".

Passo 6

Escreva a mesma coisa de forma totalmente explícita em coordenadas cartesianas 3D (útil para prova, pra você poder aplicar direto):
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x\partial_x v_x + v_y\partial_y v_x + v_z\partial_z v_x\\[4pt] v_x\partial_x v_y + v_y\partial_y v_y + v_z\partial_z v_y\\[4pt] v_x\partial_x v_z + v_y\partial_y v_z + v_z\partial_z v_z \end{pmatrix}.
Aqui usei a notação usual v_x=v_1,\;v_y=v_2,\;v_z=v_3 e \partial_x=\partial_1, etc. Se estiver numa prova, basta substituir as componentes conhecidas de \mathbf{v} nas fórmulas acima e calcular as derivadas.]

Passo 7

Comentário final (rápido, para você lembrar na hora da prova): (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} também é chamado de termo convectivo em dinâmica dos fluidos; em notação compacta muitas vezes aparece como (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} ou v_j\partial_j v_i (componentes). Em coordenadas cartesianas a base não contribui com termos extras, por isso a expressão fica tão simples.

Resposta

(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = v_i(\partial_i v_j)\mathbf{e}_j
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x\partial_x v_x + v_y\partial_y v_x + v_z\partial_z v_x\\[4pt] v_x\partial_x v_y + v_y\partial_y v_y + v_z\partial_z v_y\\[4pt] v_x\partial_x v_z + v_y\partial_y v_z + v_z\partial_z v_z \end{pmatrix}]

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