Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas. \nabla \cdot \mathbf{T}.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a divergência do tensor \mathbf{T}, isto é \nabla\cdot\mathbf{T}, usando álgebra tensorial em coordenadas cartesianas. Informações dadas (implícitas): \mathbf{T} é um tensor de segunda ordem cujas componentes em coordenadas cartesianas podemos denotar por T_{ij} (ou, dependendo da convenção, T^{i}{}_{j}, etc.). Vou usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos, um em cima e outro em baixo, são somados automaticamente. Nada mais foi fornecido explicitamente pelo enunciado.
Passo 2
Definição precisa do que vamos calcular e notação: a divergência de um tensor de segunda ordem é um vetor obtido pela contração do operador nabla com uma das covariantes do tensor. Em notação indiceada, uma forma comum (e prática) é
(\nabla\cdot\mathbf{T})_{j}=\nabla_{i}T_{ij},
onde \nabla_{i} é a derivada covariante na direção x^{i} e T_{ij} são as componentes covariantes de \mathbf{T}. Aqui i é o índice contraído (somado).
Passo 3
Por que em coordenadas cartesianas isso simplifica para derivadas parciais: em coordenadas cartesianas o tensor métrico é \delta_{ij} (a matriz identidade) e os símbolos de Christoffel são zero. Portanto a derivada covariante coincide com a derivada parcial. Ou seja,
\nabla_{i}T_{ij}=\partial_{i}T_{ij},
onde \partial_{i}=\dfrac{\partial}{\partial x^{i}}. Expliquei isso porque a derivada covariante normalmente inclui termos com Christoffel, mas em cartesianas esses termos desaparecem.
Passo 4
Escrevendo a resposta final em forma componente: a componente j-ésima do vetor \nabla\cdot\mathbf{T} é
(\nabla\cdot\mathbf{T})_{j}=\partial_{i}T_{ij},
com soma sobre i=1,2,3. Aqui cada \partial_{i}T_{ij} significa \dfrac{\partial T_{1j}}{\partial x^{1}}+\dfrac{\partial T_{2j}}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial T_{3j}}{\partial x^{3}}.
Passo 5
Escrevendo em forma de vetor (componentes explícitas): se quisermos o vetor \nabla\cdot\mathbf{T} escrito com componentes em x,y,z, temos
Observações adicionais úteis para a prova (pra você não se confundir): se o tensor estiver dado com índices mistos, por exemplo T^{i}{}_{j}, a fórmula análoga é
em coordenadas cartesianas. Em cartesianas levantar/baixar índices é feito com \delta^{ik} ou \delta_{ik}, então as formas são equivalentes numericamente se você converter os componentes.
Passo 7
Exemplo rápido e concreto (pra fixar): suponha
T_{ij}=\begin{pmatrix} x & y & 0\\[4pt] 0 & x^2 & z\\[4pt] y & 0 & xz \end{pmatrix},