Using Mohr’s circle, show that for any regular polygon (such as a pentagon)
the product of inertia with respect to every pair of rectangular axes through the centroid is zero.
the product of inertia with respect to every pair of rectangular axes through the centroid is zero.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se para mostrar que, para qualquer polígono regular (por exemplo um pentágono), o produto de inércia em relação a quaisquer eixos retangulares que passem pelo centróide é zero.
- Informações relevantes: o polígono é regular (tem rotação de simetria de ângulo
, com ), e os eixos considerados passam pelo centróide do polígono (portanto as primeiras momentos são nulas). - O objetivo concreto a provar é que o produto de inércia em qualquer par de eixos que passam pelo centróide satisfaz
.
Passo 2
Definições e formulas básicas (muito importantes para a prova):
- Produto de inércia:
, onde as coordenadas são medidas a partir do centróide (por isso as primeiras momentos são zero). Expliquei: isto mede a “distribuição mista” da área em relação aos eixos e . - Momentos de inércia em torno dos eixos:
e . Esses são sempre calculados com origem no centróide neste problema. - Observação prática: trocar a orientação dos eixos (girar os eixos no plano) transforma
segundo fórmulas que vamos usar abaixo; Mohr’s circle é uma maneira geométrica e muito conveniente de ver essas transformações.
Passo 3
Construção e propriedades do círculo de Mohr para momentos de área (a “aula rápida” do Mohr que pedi que te desse):
- O círculo de Mohr é um círculo no plano cujas abscissas representam momentos em um eixo e as ordenadas representam o produto de inércia correspondente. Para eixos
girados de um ângulo em relação a , as componentes transformam-se segundo as fórmulas (que aqui eu apresento já prontas e explico):
Explicação das peças:
é o ângulo entre os eixos
e
; as funções
e
aparecem porque as quantidades em jogo têm simetria duplas (rotação por
devolve o mesmo par de eixos).
- No plano
(onde é a abscissa representando o momento de um eixo), o conjunto de todos os pares quando varia é um círculo com centro e raio dados por:
Intuição: ao girar os eixos, o ponto que representa
descreve esse círculo; girar os eixos por
corresponde a deslocar-se sobre o círculo por um ângulo geométrico igual a
.
Passo 4
Consequência da simetria do polígono regular sobre os momentos:
- Um polígono regular é invariante por rotação do corpo em torno do centróide por
. Isso significa: se eu rotacionar o corpo pelo ângulo , geometricamente nada muda. Em termos dos momentos, isto implica que os valores numéricos de calculados em um dado par de eixos centrados no centróide são os mesmos que eu obteria se eu girasse o corpo e mantivesse os mesmos eixos (ou, versão equivalente, se eu girasse os eixos no corpo fixo pelo mesmo ângulo). - Em termos práticos: para qualquer orientação inicial
dos eixos, os momentos medidos para orientação e para orientação são iguais, porque rotacionar os eixos por é o mesmo que rotacionar o polígono pela (que deixa a figura inalterada). Assim, para todo vale
Passo 5
Interpretando essa igualdade no círculo de Mohr:
- No círculo de Mohr, orientar os eixos por
corresponde a um ponto do círculo alcançado por um ângulo de parâmetro a partir do centro. Orientar por corresponde a deslocar esse parâmetro para . A invariância anterior exige que, para todo , o ponto do círculo para o parâmetro seja o mesmo que para . - Geometricamente isso significa que o mapeamento que leva cada ponto do círculo ao ponto que está à frente por um ângulo fixo
(no próprio círculo) deve ser a aplicação identidade no círculo inteira. Ou seja, girar qualquer ponto do círculo por deve devolver o mesmo ponto. - Quando isso acontece para todos os pontos do círculo, duas possibilidades: (i) o ângulo de giro
é congruente com modulo (ou seja, é um múltiplo inteiro de ), ou (ii) o círculo não tem nenhum “comprimento” — isto é, é um ponto único (raio ). Aqui temos . Para polígonos regulares com , não é múltiplo de (por exemplo, para pentágono dá , não um múltiplo de ). Portanto a primeira alternativa não ocorre, sobrando apenas a segunda: o círculo de Mohr deve ser degenerado (raio igual a zero).
Passo 6
Conseqüência algebraica da degeneração do círculo de Mohr:
- Se o raio do círculo é zero, então
Portanto ambas as quantidades sob a raiz são zero, o que dá simultaneamente - Da primeira igualdade vem
. Da segunda, exatamente o que queríamos: o produto de inércia é zero em relação a qualquer par de eixos ortogonais que passem pelo centróide.
Passo 7
Fechamento, interpretação e nota de encorajamento:
- Concluímos que, por causa da simetria rotacional do polígono regular, o círculo de Mohr tem de ser um ponto único, o que força
e . Em palavras: os momentos de inércia em qualquer par de eixos ortogonais através do centróide são iguais e o produto de inércia é nulo. - Isto é exatamente o que se esperaria intuitivamente: não há “direção privilegiada” no polígono regular, então não pode haver componente mista
que favoreça uma direção. Boa! Você sobreviveu à Mohr — e agora tem um argumento rápido e elegante para a prova.