O vaso de 25 kg é sustentado em A por três cabos. Determine a força que atua em cada cabo para o equilíbrio.
Se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 50 N antes de se romper, determine o maior peso do vaso que os cabos podem sustentar.
Se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 50 N antes de se romper, determine o maior peso do vaso que os cabos podem sustentar.
Passo 1
O enunciado dá que um vaso tem massa
e está pendurado no ponto
por três cabos: um cabo vertical para baixo (até o gancho
), um cabo horizontal para a direita (até
) e um cabo para cima e à esquerda que forma um ângulo de
com a horizontal (até
). Pede-se: (1) as forças (trações) em cada um dos três cabos quando o vaso de
está em equilíbrio; (2) se cada cabo suporta no máximo
, qual o maior peso (força peso) do vaso que o conjunto pode sustentar. Informação relevante extraída do enunciado: a geometria do sistema no ponto
é tal que um cabo está horizontal para a direita, outro faz
acima da horizontal para a esquerda e o terceiro é vertical para baixo; a massa do vaso é
. Não há outras forças externas além do peso do vaso e das tensões nos cabos.
Passo 2
Converter massa em peso (força). Explico a fórmula: o peso (força)
de um corpo de massa
é dado por
, onde
é a aceleração da gravidade (usar
). Aqui
, então
Esse
é a força para baixo aplicada no nó
pelo vaso; em regime estático, a tensão no cabo vertical é igual a esse peso (vamos mostrar isso em seguida).
Passo 3
Equilíbrio no nó
: vou escrever as equações de equilíbrio para as componentes horizontal e vertical das forças. Nomeio as tensões:
-
= tensão no cabo vertical (para baixo, ligado ao vaso); -
= tensão no cabo horizontal para a direita; -
= tensão no cabo que vai para cima e à esquerda, fazendo com a horizontal (ou seja, sua direção tem componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima).
Condição de equilíbrio vetorial: a soma vetorial das três tensões mais a força peso (se você considerar o peso como força externa) é zero. É mais prático considerar as três tensões aplicadas no nó
e saber que a resultante delas deve anular o peso. Em componentes, tomando o eixo
positivo para a direita e
positivo para cima:
- Soma das componentes
: - Soma das componentes
:
Expliquei as equações:
é a componente horizontal (para a esquerda) do cabo inclinado;
é sua componente vertical (para cima). O cabo horizontal tem apenas componente
em
. O cabo vertical tem apenas componente
em
(para baixo), e o peso do vaso já foi considerado como a tensão no cabo vertical em regime estático (ou seja,
— vou justificar e usar isso a seguir).
Passo 4
Justificação física: o cabo vertical sustenta o vaso diretamente; se admitirmos cabos ideais (sem massa e sem alongamento dinâmico), a tensão nesse cabo é igual ao peso do vaso em equilíbrio, portanto
Agora uso as equações do passo anterior para obter
e
. Da equação vertical:
Lembro que
.
Da equação horizontal:
Lembro que
.
Passo 5
Calcular numericamente as tensões passo a passo (vou manter boa precisão e depois arredondar a resposta final razoavelmente):
Primeiro
:
Depois
:
E já temos
do passo 4. Posso arredondar com 3 algarismos significativos:
,
,
.
Passo 6
Agora a segunda pergunta: se cada cabo suporta no máximo
de tração, qual o maior peso
que pode ser sustentado sem que qualquer cabo exceda
?
Usamos as relações geométricas que obtivemos: para um peso
genérico (substituindo
):
As três condições de segurança são:
Calculamos os limites de
dados por cada cabo:
- Pelo cabo vertical:
- Pelo cabo inclinado:
- Pelo cabo horizontal:
. Mas é mais simples usar . Como , obtemos
O limite mais restritivo é
imposto pelo cabo inclinado
. Portanto o maior peso que o conjunto de cabos pode sustentar sem romper nenhum cabo é
.
Se quiser converter esse peso para massa máxima
, use
: