O vaso de 25 kg é sustentado em A por três cabos. Determine a força que atua em cada cabo para o equilíbrio.
Se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 50 N antes de se romper, determine o maior peso do vaso que os cabos podem sustentar.

Passo 1

O enunciado dá que um vaso tem massa 25\\ \text{kg} e está pendurado no ponto A por três cabos: um cabo vertical para baixo (até o gancho H), um cabo horizontal para a direita (até E) e um cabo para cima e à esquerda que forma um ângulo de 60^\circ com a horizontal (até B). Pede-se: (1) as forças (trações) em cada um dos três cabos quando o vaso de 25\\ \text{kg} está em equilíbrio; (2) se cada cabo suporta no máximo 50\\ \text{N}, qual o maior peso (força peso) do vaso que o conjunto pode sustentar. Informação relevante extraída do enunciado: a geometria do sistema no ponto A é tal que um cabo está horizontal para a direita, outro faz 60^\circ acima da horizontal para a esquerda e o terceiro é vertical para baixo; a massa do vaso é 25\\ \text{kg}. Não há outras forças externas além do peso do vaso e das tensões nos cabos.

Passo 2

Converter massa em peso (força). Explico a fórmula: o peso (força) W de um corpo de massa m é dado por W = m g, onde g é a aceleração da gravidade (usar g=9{,}81\\ \text{m/s}^2). Aqui m=25\\ \text{kg}, então
W = m g = 25 \times 9{,}81 = 245{,}25\\ \text{N}.
Esse W é a força para baixo aplicada no nó A pelo vaso; em regime estático, a tensão no cabo vertical é igual a esse peso (vamos mostrar isso em seguida).

Passo 3

Equilíbrio no nó A: vou escrever as equações de equilíbrio para as componentes horizontal e vertical das forças. Nomeio as tensões:
  • T_{AH} = tensão no cabo vertical (para baixo, ligado ao vaso);
  • T_{AE} = tensão no cabo horizontal para a direita;
  • T_{AB} = tensão no cabo que vai para cima e à esquerda, fazendo 60^\circ com a horizontal (ou seja, sua direção tem componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima).
Condição de equilíbrio vetorial: a soma vetorial das três tensões mais a força peso (se você considerar o peso como força externa) é zero. É mais prático considerar as três tensões aplicadas no nó A e saber que a resultante delas deve anular o peso. Em componentes, tomando o eixo x positivo para a direita e y positivo para cima:
  • Soma das componentes x: T_{AE} - T_{AB}\cos 60^\circ = 0.
  • Soma das componentes y: T_{AB}\sin 60^\circ - T_{AH} = 0.
Expliquei as equações: T_{AB}\cos60^\circ é a componente horizontal (para a esquerda) do cabo inclinado; T_{AB}\sin60^\circ é sua componente vertical (para cima). O cabo horizontal tem apenas componente +T_{AE} em x. O cabo vertical tem apenas componente -T_{AH} em y (para baixo), e o peso do vaso já foi considerado como a tensão no cabo vertical em regime estático (ou seja, T_{AH}=W — vou justificar e usar isso a seguir).

Passo 4

Justificação física: o cabo vertical sustenta o vaso diretamente; se admitirmos cabos ideais (sem massa e sem alongamento dinâmico), a tensão nesse cabo é igual ao peso do vaso em equilíbrio, portanto
T_{AH} = W = 245{,}25\\ \text{N}.
Agora uso as equações do passo anterior para obter T_{AB} e T_{AE}. Da equação vertical:
T_{AB}\sin 60^\circ = T_{AH} \quad\Rightarrow\quad T_{AB} = \frac{T_{AH}}{\sin 60^\circ}.
Lembro que \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
Da equação horizontal:
T_{AE} = T_{AB}\cos 60^\circ.
Lembro que \cos 60^\circ = 0{,}5.

Passo 5

Calcular numericamente as tensões passo a passo (vou manter boa precisão e depois arredondar a resposta final razoavelmente):
Primeiro T_{AB}:
T_{AB} = \frac{245{,}25}{\sin 60^\circ} = \frac{245{,}25}{0{,}8660254} \approx 283{,}39\\ \text{N}.
Depois T_{AE}:
T_{AE} = T_{AB}\cos 60^\circ = 283{,}39 \times 0{,}5 \approx 141{,}69\\ \text{N}.
E já temos T_{AH}=245{,}25\\ \text{N} do passo 4. Posso arredondar com 3 algarismos significativos: T_{AB}\approx 283{,}4\\ \text{N}, T_{AE}\approx 141{,}7\\ \text{N}, T_{AH}\approx 245{,}3\\ \text{N}.

Passo 6

Agora a segunda pergunta: se cada cabo suporta no máximo 50\\ \text{N} de tração, qual o maior peso W_{\max} que pode ser sustentado sem que qualquer cabo exceda 50\\ \text{N}?
Usamos as relações geométricas que obtivemos: para um peso W genérico (substituindo T_{AH}=W):
T_{AB} = \frac{W}{\sin 60^\circ},\qquad T_{AE} = \frac{W}{\sin 60^\circ}\cos 60^\circ = W\cot 60^\circ.
As três condições de segurança são:
T_{AH}=W \le 50,\qquad T_{AB} = \frac{W}{\sin 60^\circ} \le 50,\qquad T_{AE}=W\cot 60^\circ \le 50.
Calculamos os limites de W dados por cada cabo:
  • Pelo cabo vertical: W\le 50\\ \text{N}.
  • Pelo cabo inclinado: W \le 50\sin 60^\circ = 50\times 0{,}8660254 \approx 43{,}30\\ \text{N}.
  • Pelo cabo horizontal: W \le \dfrac{50}{\cot 60^\circ} = 50\tan 60^\circ. Mas é mais simples usar T_{AE}=W\cot60^\circ\le50\Rightarrow W\le 50/\cot60^\circ. Como \cot60^\circ=1/\tan60^\circ=0{,}577350, obtemos W\le 86{,}60\\ \text{N}.
O limite mais restritivo é W\le 43{,}30\\ \text{N} imposto pelo cabo inclinado AB. Portanto o maior peso que o conjunto de cabos pode sustentar sem romper nenhum cabo é W_{\max}=43{,}30\\ \text{N}.
Se quiser converter esse peso para massa máxima m_{\max}, use m_{\max}=W_{\max}/g:
m_{\max} = \frac{43{,}30}{9{,}81}\approx 4{,}41\\ \text{kg}.

Resposta

T_{AB}=283{,}4\\ \text{N}
T_{AE}=141{,}7\\ \text{N}
T_{AH}=245{,}3\\ \text{N}
W_{\max}=43{,}30\\ \text{N} (correspondendo a m_{\max}\approx 4{,}41\\ \text{kg})

Exercícios relacionados