Utilizando ambas as igualdades
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)=f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)
calcule f^{\prime}(a) quando:
f(x)=5 x-9 x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x) = 5x - 9x^2
e lembra as duas formas de definir a derivada em a:
f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad\text{ou}\quad f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Para ser mais direto, vamos usar a segunda expressão.

Passo 2

Calculemos f(a+h) e f(a). Substituindo x = a+h em f(x),
f(a+h) = 5(a+h) - 9(a+h)^2 = 5a + 5h - 9\bigl(a^2 + 2ah + h^2\bigr) = 5a + 5h - 9a^2 - 18ah - 9h^2.
f(a) = 5a - 9a^2.

Passo 3

Formamos o quociente de diferenças:
\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\bigl(5a + 5h - 9a^2 - 18ah - 9h^2\bigr) - \bigl(5a - 9a^2\bigr)}{h} = \frac{5h - 18ah - 9h^2}{h} = 5 - 18a - 9h.

Passo 4

Fazendo h \to 0 no resultado anterior, obtemos
f'(a) = \lim_{h\to0}\bigl(5 - 18a - 9h\bigr) = 5 - 18a.

Resposta

f'(a) = 5 - 18a

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