Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
f(t)=\frac{2 t}{4+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(t)=\frac{2\,t}{4+t^{2}}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivação e, em seguida, derivação de novo quociente para obter f''(t).

Passo 2

Para obter f'(t) usamos a regra do quociente: se
f(t)=\frac{u(t)}{v(t)},
então
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
Aqui u(t)=2t e v(t)=4+t^{2}, logo
u'(t)=2, \quad v'(t)=2t.
Aplicando:
f'(t) =\frac{2\,(4+t^{2})-(2t)\,(2t)}{(4+t^{2})^{2}} =\frac{8+2t^{2}-4t^{2}}{(4+t^{2})^{2}}.

Passo 3

Simplificando o numerador:
8+2t^{2}-4t^{2}=8-2t^{2}=2\,(4-t^{2}),
portanto
f'(t) =\frac{2\,(4-t^{2})}{(4+t^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos f'(t)=2\,(4-t^{2})\,(4+t^{2})^{-2}. Podemos também ver como quociente
N(t)=2\,(4-t^{2}),\quad D(t)=(4+t^{2})^{2}.
Então
N'(t)=-4t, \quad D'(t)=2\,(4+t^{2})\cdot2t=4t\,(4+t^{2}),
e a regra do quociente dá
f''(t) =\frac{N'(t)\,D(t)-N(t)\,D'(t)}{[D(t)]^{2}}.

Passo 5

Calculando o numerador:
N'D - N\,D' =-4t\,(4+t^{2})^{2} -2\,(4-t^{2})\bigl[4t\,(4+t^{2})\bigr] =-4t\,(4+t^{2})\bigl[(4+t^{2})+(8-2t^{2})\bigr] =-4t\,(4+t^{2})(12-t^{2}).
Dividindo por (4+t^{2})^{4} resulta
f''(t) =-\frac{4t\,(12-t^{2})}{(4+t^{2})^{3}} =\frac{4t\,(t^{2}-12)}{(4+t^{2})^{3}}.

Resposta

f'(t)=\frac{2\,(4-t^{2})}{(4+t^{2})^{2}}, \qquad f''(t)=-\frac{4t\,(12-t^{2})}{(4+t^{2})^{3}}.

Exercícios relacionados