Utilizando ambas as igualdades
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)=f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)
calcule f^{\prime}(a) quando:
f(x)=x+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x+\sqrt{x} em um ponto genérico a usando ambas as definições:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad\text{e}\quad f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Vamos aplicar cada uma dessas igualdades e ver que chega ao mesmo resultado.

Passo 2

Usando a definição \displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, escrevemos:
\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\frac{\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)-\bigl(a+\sqrt{a}\bigr)}{x-a} =\frac{(x-a)+(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x-a} =1+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}, racionalizamos:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} =\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})} =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}
e, ao fazer x\to a, obtemos \tfrac1{2\sqrt{a}}. Logo,
f'(a)=1+\frac1{2\sqrt{a}}.

Passo 4

Usando a outra definição \displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, temos:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\frac{\bigl(a+h+\sqrt{a+h}\bigr)-\bigl(a+\sqrt{a}\bigr)}{h} =\frac{h+(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})}{h} =1+\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}.

Passo 5

Racionalizando \displaystyle \frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}:
\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} =\frac{h}{h\,(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} =\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
e, ao fazer h\to0, chega-se novamente a \tfrac1{2\sqrt{a}}. Assim,
f'(a)=1+\frac1{2\sqrt{a}}.

Resposta

f'(a)=1+\frac1{2\sqrt{a}}.

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