Utilizando ambas as igualdades
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)=f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)
calcule f^{\prime}(a) quando:
f(x)=\sqrt{9-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\sqrt{9-x} no ponto x=a usando as duas formas equivalentes da definição de derivada:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad\text{e}\quad f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Para ambas, vamos usar a técnica de racionalizar a diferença de raízes.

Passo 2

Usando
\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{9-x}-\sqrt{9-a}}{x-a},
multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{9-x}+\sqrt{9-a}:
\frac{\sqrt{9-x}-\sqrt{9-a}}{x-a} \cdot \frac{\sqrt{9-x}+\sqrt{9-a}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{9-a}} = \frac{(9-x)-(9-a)}{(x-a)\bigl(\sqrt{9-x}+\sqrt{9-a}\bigr)}.
No numerador fica 9-x-9+a=a-x=-(x-a), logo
\frac{\sqrt{9-x}-\sqrt{9-a}}{x-a} =\frac{-(x-a)}{(x-a)\bigl(\sqrt{9-x}+\sqrt{9-a}\bigr)} =-\frac{1}{\sqrt{9-x}+\sqrt{9-a}}.
Fazendo x\to a, obtemos
f'(a) =\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =-\frac{1}{2\sqrt{9-a}}.

Passo 3

Usando a forma com h:
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{9-(a+h)}-\sqrt{9-a}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{9-a-h}-\sqrt{9-a}}{h}.
Racionalizando do mesmo modo, multiplicamos por \sqrt{9-a-h}+\sqrt{9-a}:
\frac{\sqrt{9-a-h}-\sqrt{9-a}}{h} \;=\; -\frac{1}{\sqrt{9-a-h}+\sqrt{9-a}}
e, ao fazer h\to0, voltamos a
f'(a)=-\frac{1}{2\sqrt{9-a}}.

Passo 4

Portanto, ambas as definições conduzem ao mesmo resultado, confirmando que
f'(a)=-\frac{1}{2\sqrt{9-a}}.

Resposta

f'(a)=-\dfrac{1}{2\sqrt{9-a}}

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