Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades a e b são constantes):
\overrightarrow{\mathrm{V}}=a x \hat{\mathrm{i}}+\left(\mathrm{e}^{\mathrm{bt}}\right) \hat{\mathrm{j}}+a y \hat{\mathrm{k}}

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade (com a e b constantes):
\overrightarrow{V}=a x\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(e^{b t}\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}+a y\,\hat{\mathbf{k}}.
As perguntas que vou responder são (tudo o que normalmente se pede para um campo de velocidade):
  1. Calcular a divergência \nabla\cdot\overrightarrow{V}.
  2. Calcular a vorticidade \nabla\times\overrightarrow{V}.
  3. Calcular a aceleração material (derivada material) \dfrac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}.
  4. Usar esses resultados para dizer quando o campo é incompressível, quando é irrotacional (potencial) e quando é estacionário.

Passo 2

Definição e cálculo da divergência.
A divergência de um campo vetorial \overrightarrow{V}=(V_x,V_y,V_z) é
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z},
onde \partial/\partial x indica derivada parcial em relação à coordenada x, etc. Aqui V_x=a x, V_y=e^{b t}, V_z=a y. Calculo as derivadas parciais espaciais:
\frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial (a x)}{\partial x}=a, \qquad \frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial (e^{b t})}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial V_z}{\partial z}=\frac{\partial (a y)}{\partial z}=0.
Somando:
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=a+0+0=a.
Interpretação: o campo é incompressível se \nabla\cdot\overrightarrow{V}=0, ou seja, aqui isso ocorre exatamente quando a=0.

Passo 3

Definição e cálculo da vorticidade (ou rotor).
A vorticidade é o rotacional do campo,
\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\overrightarrow{V} =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}.
Isso produz as componentes:
\omega_x=\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\qquad \omega_y=\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\qquad \omega_z=\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}.
Usando V_x=a x, V_y=e^{b t}, V_z=a y:
\frac{\partial V_z}{\partial y}=\frac{\partial (a y)}{\partial y}=a, \qquad \frac{\partial V_y}{\partial z}=0,
logo \omega_x=a-0=a.
\frac{\partial V_x}{\partial z}=0, \qquad \frac{\partial V_z}{\partial x}=\frac{\partial (a y)}{\partial x}=0,
logo \omega_y=0-0=0.
\frac{\partial V_y}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial V_x}{\partial y}=\frac{\partial (a x)}{\partial y}=0,
logo \omega_z=0-0=0. Portanto
\nabla\times\overrightarrow{V}=a\,\hat{\mathbf{i}}.
Interpretação: o campo é rotacional (tem vorticidade) quando a\neq 0; é irrotacional (potencial) apenas se a=0.]

Passo 4

Definição da derivada material (aceleração):
A aceleração de uma partícula fluida é a derivada material
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\frac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V},
onde \partial\overrightarrow{V}/\partial t é a derivada parcial no tempo (mantendo a posição fixa) e (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} é o termo convectivo que representa a mudança espacial transportada pelo movimento do fluido.

Passo 5

Calcular \partial\overrightarrow{V}/\partial t. Diferencio cada componente em relação a t, tratando x,y,z como constantes:
\frac{\partial V_x}{\partial t}=\frac{\partial (a x)}{\partial t}=0, \qquad \frac{\partial V_y}{\partial t}=\frac{\partial (e^{b t})}{\partial t}=b\,e^{b t}, \qquad \frac{\partial V_z}{\partial t}=\frac{\partial (a y)}{\partial t}=0.
Logo
\frac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}=0\,\hat{\mathbf{i}}+b\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 6

Calcular o termo convectivo (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}. Primeiro escrevo o operador convectivo:
\overrightarrow{V}\cdot\nabla=V_x\frac{\partial}{\partial x}+V_y\frac{\partial}{\partial y}+V_z\frac{\partial}{\partial z} =(a x)\frac{\partial}{\partial x}+e^{b t}\frac{\partial}{\partial y}+(a y)\frac{\partial}{\partial z}.
Aplico esse operador componente a componente:
Para a componente x:
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)V_x=(a x)\frac{\partial (a x)}{\partial x}+e^{b t}\frac{\partial (a x)}{\partial y}+(a y)\frac{\partial (a x)}{\partial z} =(a x)\cdot a + e^{b t}\cdot 0 + (a y)\cdot 0 = a^2 x.
Para a componente y:
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)V_y=(a x)\frac{\partial (e^{b t})}{\partial x}+e^{b t}\frac{\partial (e^{b t})}{\partial y}+(a y)\frac{\partial (e^{b t})}{\partial z}=0+0+0=0,
pois e^{b t} não depende de x,y,z.
Para a componente z:
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)V_z=(a x)\frac{\partial (a y)}{\partial x}+e^{b t}\frac{\partial (a y)}{\partial y}+(a y)\frac{\partial (a y)}{\partial z} =(a x)\cdot 0 + e^{b t}\cdot a + (a y)\cdot 0 = a\,e^{b t}.
Portanto
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}=a^2 x\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+a\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 7

Somar os termos para obter a aceleração material:
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\frac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} =(0+a^2 x)\,\hat{\mathbf{i}}+(b e^{b t}+0)\,\hat{\mathbf{j}}+(0+a e^{b t})\,\hat{\mathbf{k}}.
Portanto
\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=a^{2}x\,\hat{\mathbf{i}}+b\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{j}}+a\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{k}}.
Interpretação: essa é a aceleração que uma partícula do fluido experimenta em cada ponto (x,y,z) e tempo t. Note que se b\neq 0 o termo temporal produz aceleração na direção y; se a\neq 0 aparecem termos convectivos que geram aceleração em x e z.

Passo 8

Resumo das propriedades do campo (condições sobre a e b):
  • Incompressibilidade: ocorre se \nabla\cdot\overrightarrow{V}=0\Rightarrow a=0.
  • Irrotacional (potencial): ocorre se \nabla\times\overrightarrow{V}=\mathbf{0}\Rightarrow a=0.
  • Estacionariedade (campo independente do tempo): o campo é estacionário se \partial\overrightarrow{V}/\partial t=\mathbf{0}\Rightarrow b=0. Se b\neq 0 o campo é não estacionário (tempo aparece em V_y).

Resposta

\nabla\cdot\overrightarrow{V}=a
\nabla\times\overrightarrow{V}=a\,\hat{\mathbf{i}}
\dfrac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=a^{2}x\,\hat{\mathbf{i}}+b\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{j}}+a\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{k}}
Incompressível se e somente se a=0.
Irrotacional (potencial) se e somente se a=0.
Estacionário se e somente se b=0.

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