Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades a e b são constantes): \overrightarrow{\mathrm{V}}=a x \hat{\mathrm{i}}+\left(\mathrm{e}^{\mathrm{bt}}\right) \hat{\mathrm{j}}+a y \hat{\mathrm{k}}
Passo 1
O enunciado fornece o campo de velocidade (com a e b constantes):
As perguntas que vou responder são (tudo o que normalmente se pede para um campo de velocidade):
Calcular a divergência \nabla\cdot\overrightarrow{V}.
Calcular a vorticidade \nabla\times\overrightarrow{V}.
Calcular a aceleração material (derivada material) \dfrac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}.
Usar esses resultados para dizer quando o campo é incompressível, quando é irrotacional (potencial) e quando é estacionário.
Passo 2
Definição e cálculo da divergência.
A divergência de um campo vetorial \overrightarrow{V}=(V_x,V_y,V_z) é
onde \partial/\partial x indica derivada parcial em relação à coordenada x, etc. Aqui V_x=a x, V_y=e^{b t}, V_z=a y. Calculo as derivadas parciais espaciais:
\frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial (a x)}{\partial x}=a, \qquad \frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial (e^{b t})}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial V_z}{\partial z}=\frac{\partial (a y)}{\partial z}=0.
Somando:
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=a+0+0=a.
Interpretação: o campo é incompressível se \nabla\cdot\overrightarrow{V}=0, ou seja, aqui isso ocorre exatamente quando a=0.
Passo 3
Definição e cálculo da vorticidade (ou rotor).
A vorticidade é o rotacional do campo,
onde \partial\overrightarrow{V}/\partial t é a derivada parcial no tempo (mantendo a posição fixa) e (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} é o termo convectivo que representa a mudança espacial transportada pelo movimento do fluido.
Passo 5
Calcular \partial\overrightarrow{V}/\partial t. Diferencio cada componente em relação a t, tratando x,y,z como constantes:
Interpretação: essa é a aceleração que uma partícula do fluido experimenta em cada ponto (x,y,z) e tempo t. Note que se b\neq 0 o termo temporal produz aceleração na direção y; se a\neq 0 aparecem termos convectivos que geram aceleração em x e z.
Passo 8
Resumo das propriedades do campo (condições sobre a e b):
Incompressibilidade: ocorre se \nabla\cdot\overrightarrow{V}=0\Rightarrow a=0.
Irrotacional (potencial): ocorre se \nabla\times\overrightarrow{V}=\mathbf{0}\Rightarrow a=0.
Estacionariedade (campo independente do tempo): o campo é estacionário se \partial\overrightarrow{V}/\partial t=\mathbf{0}\Rightarrow b=0. Se b\neq 0 o campo é não estacionário (tempo aparece em V_y).
Resposta
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=a \nabla\times\overrightarrow{V}=a\,\hat{\mathbf{i}} \dfrac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=a^{2}x\,\hat{\mathbf{i}}+b\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{j}}+a\,e^{b t}\,\hat{\mathbf{k}}
Incompressível se e somente se a=0.
Irrotacional (potencial) se e somente se a=0.
Estacionário se e somente se b=0.