Utilizando um capacímetro com fundo de escala de 200 p F, foi feita uma medição da capacitância de um capacitor cujo valor nominal era 100 p F. O valor observado no mostrador do capacímetro foi de 102,4 p F. (a) Sabendo que, para o cálculo da incerteza na medida do capacímetro no fundo de escala de 200 p F o manual do capacímetro indica o erro máximo admissível de \pm(0,02 \%+0,5 p F+1 D) e resolução de 0,1 p F, como será representado o valor medido da capacitância, C, do capacitor?
Com o capacitor conectado a um circuito elétrico mediu-se a tensão elétrica, V_{C}, no mesmo obtendo o valor de V_{C}=(5,10 \pm 0,06) V. A carga, Q, em um capacitor é dada pela relação: Q=V_{C} \cdot C. (b) Qual é, então, a carga no capacitor cuja capacitância e a tensão elétrica foram medidas?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue:
  • Escala do capacímetro: \,200\\ \mathrm{pF}.
  • Valor observado no mostrador: \,102,4\\ \mathrm{pF}.
  • Manual do capacímetro indica erro máximo admissível e resolução na escala de \,200\\ \mathrm{pF}: \pm\bigl(0,02\% + 0,5\\ \mathrm{pF} + 1\\ \mathrm{D}\bigr),onde a resolução (um dígito, 1\\ \mathrm{D}) é \,0,1\\ \mathrm{pF}.
  • Tensão medida no capacitor conectada ao circuito: V_{C}=(5,10 \pm 0,06)\\ \mathrm{V}.
  • Relação carga-capacitância: \,Q = V_{C}\cdot C.
Pedidos:
(a) Representar o valor medido da capacitância C com sua incerteza segundo o erro dado no manual.
(b) Calcular a carga Q do capacitor usando C e V_{C} com a incerteza resultante (propagação de erros).

Passo 2

Entendendo o termo de erro do manual e calculando cada parcela para \,C=102,4\\ \mathrm{pF}.
Explicação didática curta: o erro indicado \pm(0,02\%+0,5\\ \mathrm{pF}+1\\ \mathrm{D}) significa que devemos somar (a) uma parcela proporcional ao valor lido (percentual), (b) uma parcela fixa em pF e (c) uma parcela dada em dígitos (resolução). Somamos essas parcelas em módulo para obter a incerteza máxima admitida.
Cálculo das parcelas:
  • Parcela percentual: \,0,02\% = 0,0002. Então 0,0002 \times 102,4 = 0,02048\\ \mathrm{pF}.
  • Parcela fixa: 0,5\\ \mathrm{pF}.
  • Parcela de 1 dígito: 1\\ \mathrm{D} = 0,1\\ \mathrm{pF} (dado pela resolução).

Passo 3

Somando as parcelas para obter a incerteza combinada (erro máximo admissível) do capacímetro antes de arredondar:
\Delta C = 0,02048\\ \mathrm{pF} + 0,5\\ \mathrm{pF} + 0,1\\ \mathrm{pF} = 0,62048\\ \mathrm{pF}.
Explicação didática sobre arredondamento de incerteza: convém apresentar a incerteza com 1 algarismo significativo (exceto se começar por 1, quando às vezes se usa 2). Aqui a primeira algarismo significativa de 0,62048 é o 6, portanto vamos usar uma casa significativa: \Delta C \approx 0,6\\ \mathrm{pF}. Mantemos o valor medido com a mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) ao reportar.

Passo 4

Representação final da capacitância com incerteza (parte a):
Usando o valor medido e a incerteza arredondada:
C = (102,4 \pm 0,6)\\ \mathrm{pF}.
Comentário prático: mantenho uma casa decimal em C porque a incerteza 0,6\\ \mathrm{pF} está no campo das décimas de pF; assim a leitura \,102,4\\ \mathrm{pF} é compatível.

Passo 5

Preparação para calcular Q. Observações:
  • É conveniente trabalhar em unidades coerentes. Como 1\\ \mathrm{pF}\cdot 1\\ \mathrm{V} = 1\\ \mathrm{pC}, posso calcular Q diretamente em picoCoulombs (pC) e, se quiser, converter para coulombs (C) no final.
  • Usarei para C o valor central antes do arredondamento ou após? Boa prática: usar os valores centrais reportados e a incerteza não arredondada para a propagação; aqui já temos a incerteza calculada \Delta C = 0,62048\\ \mathrm{pF} (usar esse valor para maior precisão nos cálculos), e a tensão V_{C} = 5,10\\ \mathrm{V} com \Delta V = 0,06\\ \mathrm{V}.
Cálculo do valor central de Q:
Q_{\text{central}} = V_{C}\cdot C = 5,10 \times 102,4 = 522,24\\ \mathrm{pC}.
(se preferir em coulombs: 522,24\times 10^{-12}\\ \mathrm{C} = 5,2224\times 10^{-10}\\ \mathrm{C}).

Passo 6

Propagação de incerteza para produto Q = V_{C}\cdot C.
Fórmula didática: para duas grandezas independentes x e y com incertezas \Delta x e \Delta y, a incerteza relativa de z=xy é, em primeira aproximação,
\left(\frac{\Delta z}{z}\right)^2 = \left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{y}\right)^2.
Aqui x=V_{C}, y=C, z=Q. Essa fórmula vem da expansão em série de Taylor e é válida quando as incertezas são pequenas e as grandezas independentes.
Calcule as incertezas relativas:
\frac{\Delta C}{C}=\frac{0,62048}{102,4}\approx 0,0060617,
\frac{\Delta V}{V}=\frac{0,06}{5,10}\approx 0,0117647.
Agora somamos os quadrados:
\left(\frac{\Delta Q}{Q}\right)^2 = (0,0060617)^2 + (0,0117647)^2 \approx 0,00003675 + 0,00013838 = 0,00017513.
\frac{\Delta Q}{Q} \approx \sqrt{0,00017513} \approx 0,01323.
Portanto a incerteza absoluta em Q é
\Delta Q = Q_{\text{central}}\times 0,01323 \approx 522,24\times 0,01323 \approx 6,91\\ \mathrm{pC}.

Passo 7

Arredondamento da incerteza e apresentação final de Q.
Regra prática: apresentar a incerteza com um algarismo significativo (ou dois se o primeiro for 1). Aqui \Delta Q \approx 6,91\\ \mathrm{pC} — primeiro algarismo 6 → usamos \Delta Q \approx 7\\ \mathrm{pC}.
Aumentamos a consistência: arredondamos o valor central à mesma ordem (unidade de pC). Assim:
Q = (522 \pm 7)\\ \mathrm{pC}.
Se preferirmos em coulombs:
Q = \bigl(5,22 \pm 0,07\bigr)\times 10^{-10}\\ \mathrm{C}.
(Aqui eu converti 522\\ \mathrm{pC} para 5,22\times 10^{-10}\\ \mathrm{C} e \,7\\ \mathrm{pC}=0,07\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}=0,07\times 10^{-10}\\ \mathrm{C}, escrito como 0,07\times 10^{-10} e reescrito convenientemente como 0,07\times 10^{-10}; a forma mais direta acima é a apresentada.)

Resposta

C = (102,4 \pm 0,6)\\ \mathrm{pF}\n
Q = (522 \pm 7)\\ \mathrm{pC}

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