Utilizando um capacímetro com fundo de escala de
, foi feita uma medição da capacitância de um capacitor cujo valor nominal era
. O valor observado no mostrador do capacímetro foi de
. (a) Sabendo que, para o cálculo da incerteza na medida do capacímetro no fundo de escala de
o manual do capacímetro indica o erro máximo admissível de
e resolução de
, como será representado o valor medido da capacitância,
, do capacitor?
Com o capacitor conectado a um circuito elétrico mediu-se a tensão elétrica,
, no mesmo obtendo o valor de
. A carga,
, em um capacitor é dada pela relação:
. (b) Qual é, então, a carga no capacitor cuja capacitância e a tensão elétrica foram medidas?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue:
- Escala do capacímetro:
. - Valor observado no mostrador:
. - Manual do capacímetro indica erro máximo admissível e resolução na escala de
: onde a resolução (um dígito, ) é . - Tensão medida no capacitor conectada ao circuito:
- Relação carga-capacitância:
.
Pedidos:
(a) Representar o valor medido da capacitância com sua incerteza segundo o erro dado no manual.
(b) Calcular a carga do capacitor usando
e
com a incerteza resultante (propagação de erros).
(a) Representar o valor medido da capacitância
(b) Calcular a carga
Passo 2
Entendendo o termo de erro do manual e calculando cada parcela para
.
Explicação didática curta: o erro indicado
significa que devemos somar (a) uma parcela proporcional ao valor lido (percentual), (b) uma parcela fixa em pF e (c) uma parcela dada em dígitos (resolução). Somamos essas parcelas em módulo para obter a incerteza máxima admitida.
Cálculo das parcelas:
- Parcela percentual:
. Então - Parcela fixa:
. - Parcela de 1 dígito:
(dado pela resolução).
Passo 3
Somando as parcelas para obter a incerteza combinada (erro máximo admissível) do capacímetro antes de arredondar:
Explicação didática sobre arredondamento de incerteza: convém apresentar a incerteza com 1 algarismo significativo (exceto se começar por 1, quando às vezes se usa 2). Aqui a primeira algarismo significativa de
é o 6, portanto vamos usar uma casa significativa:
. Mantemos o valor medido com a mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) ao reportar.
Passo 4
Representação final da capacitância com incerteza (parte a):
Usando o valor medido e a incerteza arredondada:
Comentário prático: mantenho uma casa decimal em
porque a incerteza
está no campo das décimas de pF; assim a leitura
é compatível.
Passo 5
Preparação para calcular
. Observações:
- É conveniente trabalhar em unidades coerentes. Como
, posso calcular diretamente em picoCoulombs (pC) e, se quiser, converter para coulombs (C) no final. - Usarei para
o valor central antes do arredondamento ou após? Boa prática: usar os valores centrais reportados e a incerteza não arredondada para a propagação; aqui já temos a incerteza calculada (usar esse valor para maior precisão nos cálculos), e a tensão com .
Cálculo do valor central de
:
(se preferir em coulombs:
).
Passo 6
Propagação de incerteza para produto
.
Fórmula didática: para duas grandezas independentes
e
com incertezas
e
, a incerteza relativa de
é, em primeira aproximação,
Aqui
,
,
. Essa fórmula vem da expansão em série de Taylor e é válida quando as incertezas são pequenas e as grandezas independentes.
Calcule as incertezas relativas:
Agora somamos os quadrados:
Portanto a incerteza absoluta em
é
Passo 7
Arredondamento da incerteza e apresentação final de
.
Regra prática: apresentar a incerteza com um algarismo significativo (ou dois se o primeiro for 1). Aqui
— primeiro algarismo 6 → usamos
.
Aumentamos a consistência: arredondamos o valor central à mesma ordem (unidade de pC). Assim:
Se preferirmos em coulombs:
(Aqui eu converti
para
e
, escrito como
e reescrito convenientemente como
; a forma mais direta acima é a apresentada.)