Questão 1 - calores molares (2,0 ptos):

Considere que 3,00 mols de um gás diatômico ideal tem sua temperatura aumentada de 40,0^{\circ} \mathrm{C} sem mudar a pressão do gás, de modo que as moléculas do gás giram, mas não oscilam. Responda:
a) qual é a energia transferida para o gás na forma de calor?
b) qual é a variação da energia interna do gás?
c) qual é o trabalho realizado pelo gás?
d) qual é o aumento da energia cinética de rotação do gás?

Passo 1

O enunciado dá: 3{,}00 mols de um gás diatômico ideal; a temperatura do gás aumenta em 40{,}0^\circ\mathrm{C} sem mudança de pressão; as moléculas podem girar mas não vibram. Perguntas pedidas:
a) qual é a energia transferida para o gás na forma de calor?
b) qual é a variação da energia interna do gás?
c) qual é o trabalho realizado pelo gás?
d) qual é o aumento da energia cinética de rotação do gás?

Passo 2

Entender quantos graus de liberdade entram na conta. Para um gás diatômico que não vibra: existem 3 graus de liberdade de translação e 2 de rotação (porque uma molécula diatômica livre tem duas rotações efetivas), totalizando 5 graus de liberdade. Não contamos modos vibracionais aqui porque o enunciado diz que não oscilam.

Passo 3

Aplicar o princípio da equipartição (explicação didática): na teoria clássica dos gases ideais, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia interna por mol igual a \tfrac{1}{2}R T, onde R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e T é a temperatura em kelvin. Assim, a capacidade calorífica molar a volume constante é
C_V=\frac{f}{2}R,
onde f é o número de graus de liberdade por molécula. Aqui f=5, então vamos calcular C_V e C_P.

Passo 4

Calcular C_V e C_P e explicar as variáveis:
C_V=\frac{5}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\frac{7}{2}R.
Aqui C_V e C_P são as capacidades caloríficas molares (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}); a relação C_P-C_V=R é válida para gás ideal e foi usada para obter C_P.

Passo 5

Converter variação de temperatura: um aumento de 40{,}0^\circ\mathrm{C} corresponde a uma variação de temperatura
\Delta T=40{,}0\\ \mathrm{K}.
(Lembrete: diferenças de temperatura em °C e K têm o mesmo valor numérico.)

Passo 6

Calcular o calor trocado Q na transformação isobárica. Fórmula e significado:
Q=n C_P \Delta T,
onde n é o número de mols, C_P é a capacidade molar a pressão constante e \Delta T é a variação de temperatura. Agora substituímos valores passo a passo:
C_P=\frac{7}{2}R=3{,}5\times 8{,}314=29{,}099\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Q = 3{,}00\times 29{,}099\times 40{,}0 = 3491{,}88\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados): Q=3{,}49\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a variação da energia interna \Delta U. Fórmula e explicação:
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V=\tfrac{5}{2}R. Calculando:
C_V=\frac{5}{2}R=2{,}5\times 8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
\Delta U = 3{,}00\times 20{,}785\times 40{,}0 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \Delta U=2{,}49\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular o trabalho realizado pelo gás W. Em um processo isobárico para gás ideal tem-se
W = P\Delta V = nR\Delta T.
Também vale a primeira lei Q=\Delta U+W, então W=Q-\Delta U. Vamos pelo termo simples nR\Delta T:
W = 3{,}00\times 8{,}314\times 40{,}0 = 997{,}68\\ \mathrm{J}.
Arredondando: W=9{,}98\times 10^{2}\\ \mathrm{J}. (Confere com Q-\Delta U: 3491{,}88-2494{,}2\approx 997{,}68\\ \mathrm{J}.)

Passo 9

Calcular o aumento da energia cinética de rotação do gás. Pela equipartição, cada grau de liberdade de rotação (são 2 aqui) contribui com \tfrac{1}{2}R\Delta T por mol para a variação de energia. Assim:
\Delta E_{\text{rot}} = n\cdot\frac{2}{2}R\Delta T = nR\Delta T.
Portanto numericamente:
\Delta E_{\text{rot}} = 3{,}00\times 8{,}314\times 40{,}0 = 997{,}68\\ \mathrm{J},
ou seja \Delta E_{\text{rot}}=9{,}98\times 10^{2}\\ \mathrm{J}. Note que, curiosamente, isso coincide com o trabalho W neste caso.

Resposta

a) Q=3{,}49\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
b) \Delta U=2{,}49\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
c) W=9{,}98\times 10^{2}\\ \mathrm{J}
d) \Delta E_{\text{rot}}=9{,}98\times 10^{2}\\ \mathrm{J}

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