Questão 1

Para encontrar o valor do volume de um cubo foram realizadas várias medidas do comprimento, x, de sua aresta (tabela 1). A partir das medidas na tabela 1 foram calculados o valor médio, \bar{x}, do comprimento da aresta do cubo, \bar{x}=30,008 \mathrm{~mm}, e o desvio padrão experimental da média, u(x), para esse valor, u(x)=0,002 m m. Sabe-se que a incerteza para a medida do comprimento da aresta, neste caso, será dada pelo valor da incerteza combinada, u_{c}, que é obtida a partir da incerteza tipo \mathrm{A}, u_{A}, e da incerteza tipo \mathrm{B}, u_{B}, a partir da relação: u_{c}=\sqrt{u_{A}^{2}+u_{B}^{2}}.
Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aresta do cubo ( \pm 0,01) \mathrm{mm} 30,02 30,05 30,00 29,99 29,97 30,03 30,01 29,99 30,02 30,00

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Table 1: Tabela 1: medidas da aresta de um cubo.
(a) Quais são os valores das incertezas tipo A e tipo B da medida do comprimento da aresta do cubo?
(b) Qual é o valor medido do comprimento da aresta do cubo?
(c) Qual é o volume, V, do cubo? \left(V=x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) as incertezas tipo A e tipo B da medida do comprimento da aresta do cubo; (b) o valor medido do comprimento da aresta do cubo; (c) o volume do cubo sabendo que V=x^{3}.\n
As informações relevantes fornecidas são:\n
  • As 10 medidas da aresta (da Tabela 1): 30,02, 30,05, 30,00, 29,99, 29,97, 30,03, 30,01, 29,99, 30,02, 30,00 (valores em \mathrm{mm}, retirei os dados diretamente da tabela). \n
  • O valor médio calculado pelo enunciado é \bar{x}=30,008\\ \mathrm{mm}. \n
  • O desvio padrão experimental da média (dado no enunciado) é u(x)=0,002\\ \mathrm{mm}. Esse valor corresponde à incerteza do tipo A (incerteza estatística a partir das medições). \n
  • Na Tabela 1 aparece também entre parênteses (\pm 0,01)\\ \mathrm{mm}; isso indica a incerteza do procedimento de medida associada ao aparelho (incerteza do tipo B), ou seja, há uma contribuição sistemática indicada como \pm 0,01\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Definindo as incertezas: por definição do enunciado a incerteza tipo A é o desvio padrão experimental da média. Logo \n
u_{A}=u(x)=0,002\\ \mathrm{mm}.
Explicação didática curta: a incerteza tipo A vem da dispersão das medidas. O enunciado já calculou o desvio padrão da média, que é a estimativa da incerteza estatística do valor médio; por isso tomamos u_A igual a esse desvio.

Passo 3

Agora vamos achar a incerteza tipo B. O enunciado fornece \pm 0,01\\ \mathrm{mm} associado ao aparelho. Interpretação comum (e a que usaremos) é tratar esse intervalo como uma distribuição retangular (uniforme) de amplitude total 2a com semi-amplitude a. Para uma distribuição retangular com semi-amplitude a a incerteza padrão é
u_{B}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Aqui o enunciado já deu a=0,01\\ \mathrm{mm} (o intervalo é \pm 0,01\\ \mathrm{mm}). Portanto
u_{B}=\frac{0,01}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{mm}.
Vamos calcular numericamente esse valor. \n
u_{B}=\frac{0,01}{\sqrt{3}}\approx 0,005774\\ \mathrm{mm}.
Comentário didático: escolhemos a distribuição retangular porque o enunciado deu um limite \pm 0,01 sem informação adicional — a hipótese mais neutra é que qualquer valor nesse intervalo seja igualmente provável, daí a distribuição uniforme e a fórmula a/\sqrt{3}.

Passo 4

Agora combinamos as incertezas tipo A e B para obter a incerteza combinada u_{c}, usando a relação fornecida:
u_{c}=\sqrt{u_{A}^{2}+u_{B}^{2}}.
Substituindo os valores obtidos:
u_{c}=\sqrt{(0,002)^{2}+(0,005774)^{2}}\\ \mathrm{mm}.
Calculemos:
(0,002)^{2}=0,000004, \qquad (0,005774)^{2}\approx 0,000033333,
u_{c}=\sqrt{0,000004+0,000033333}=\sqrt{0,000037333}\approx 0,00611\\ \mathrm{mm}.
Explicação didática: a combinação quadrática reflete que as incertezas são independentes e somam-se em raiz dos quadrados (como hipotenusa), dando a incerteza efetiva sobre o valor médio.

Passo 5

Resposta para a letra (b) — valor medido do comprimento da aresta com incerteza: o valor médio dado é \bar{x}=30,008\\ \mathrm{mm} e a incerteza combinada é u_{c}\approx 0,00611\\ \mathrm{mm}. Portanto o comprimento medido, escrito no formato usual, é
\bar{x}=30,008\pm 0,00611\\ \mathrm{mm}.
Comentário sobre arredondamento: na prática muitas vezes se arredonda a incerteza para uma algarismo significativo e ajusta o valor central ao mesmo nível (por exemplo 30,008\pm0,006\\ \mathrm{mm}). Aqui mantive mais casas para maior precisão numérica.

Passo 6

Agora vamos calcular o volume do cubo usando a melhor estimativa do comprimento da aresta, isto é x=\bar{x}=30,008\\ \mathrm{mm}. A fórmula é
V=x^{3}.
Primeiro calculamos x^{2} e depois x^{3}: \n
x^{2}=(30,008)^{2}=900,480064\\ \mathrm{mm}^{2},
V=(30,008)^{3}=900,480064\times 30,008\approx 27021,605760512\\ \mathrm{mm}^{3}.
Arredondando razoavelmente:
V\approx 27021,606\\ \mathrm{mm}^{3}.

Passo 7

Agora propagamos a incerteza para V. Para uma função V=f(x) com uma única variável x, a incerteza padrão em V é, em aproximação linear (primeira ordem),
u(V)=\left|\frac{dV}{dx}\right|u_{c}.
No nosso caso V=x^{3}, logo \dfrac{dV}{dx}=3x^{2}. Portanto
u(V)=3x^{2}u_{c}.
Explicação didática: estamos usando a aproximação linear da propagação de erros; isto vem da expansão em série de Taylor e é suficiente quando a incerteza em x é pequena comparada a x.

Passo 8

Substituindo x=30,008\\ \mathrm{mm} e u_{c}=0,00611\\ \mathrm{mm} na fórmula:
u(V)=3\,(30,008)^{2}\times 0,00611.
Já calculamos (30,008)^{2}=900,480064. Assim
u(V)=3\times 900,480064\times 0,00611\approx 2701,440192\times 0,00611\approx 16,506\\ \mathrm{mm}^{3}.
Arredondando, \;u(V)\approx 16,51\\ \mathrm{mm}^{3}. \n
Portanto o volume com sua incerteza fica
V=27021,606\pm 16,506\\ \mathrm{mm}^{3}.
Em notação prática com incerteza com um algarismo significativo, pode-se escrever V=(27022\pm17)\\ \mathrm{mm}^{3}.

Resposta

(a) u_{A}=0,002\\ \mathrm{mm},\quad u_{B}=\dfrac{0,01}{\sqrt{3}}\approx 0,005774\\ \mathrm{mm}.\n
(b) \bar{x}=30,008\pm 0,00611\\ \mathrm{mm}.\n
(c) V=\bar{x}^{3}\approx 27021,606\pm 16,506\\ \mathrm{mm}^{3} (ou, arredondando, V=(27022\pm17)\\ \mathrm{mm}^{3}).

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