2.2 Mostre que a distribuição de velocidade em um tubo rugoso, de raio R, pode ser expressa por:
\frac{V_{\operatorname{mix}}-V}{V}=-2,04 \log \left(1-\frac{r}{R}\right) \cdot \sqrt{\bar{f}}
em que V é a velocidade média na seção, R o raio e r a distância do centro ao ponto onde a velocidade é v.

Passo 1

O problema pede que mostremos que a distribuição de velocidade em um tubo rugoso pode ser escrita por
\frac{V_{\operatorname{mix}}-V}{V}=-2,04 \log\!\left(1-\frac{r}{R}\right)\cdot\sqrt{\bar{f}}.
Informações e símbolos do enunciado que vamos usar:
  • V é a velocidade média na seção.
  • R é o raio do tubo.
  • r é a distância do centro ao ponto onde a velocidade é v.
  • V_{\operatorname{mix}} é a velocidade no centro do tubo (velocidade máxima, também chamada aqui de velocidade central).
  • \bar{f} é o fator de atrito médio (friction factor) usado na relação entre a tensão de cisalhamento na parede e a velocidade média.
    A tarefa é deduzir a fórmula acima mostrando a dependência logarítmica e obtendo o coeficiente numérico 2,04.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a tensão de cisalhamento \tau(r) ao raio. Em escoamento totalmente desenvolvido e estacionário em tubo circular, a distribuição de tensões na direção radial satisfaz a relação (resultado do balanço de forças por unidade de comprimento):
\tau(r) = -\frac{r}{2}\frac{dP}{dx},
onde dP/dx é a perda de carga por comprimento (constante para fluxo totalmente desenvolvido). No ponto de parede r=R temos \tau_w = -\dfrac{R}{2}\dfrac{dP}{dx}. Assim:
\tau(r)=\tau_w\frac{r}{R}.
Isto diz: a tensão de cisalhamento varia linearmente com r, zero no centro ( r=0) e igual a \tau_w na parede ( r=R).

Passo 3

Vamos relacionar a tensão de cisalhamento turbulento com o gradiente de velocidade usando o modelo de comprimento de mistura de Prandtl. A hipótese de Prandtl dá, em módulo,
|\tau(r)| \approx \rho\,\ell^{\,2}(r)\left|\frac{dv}{dr}\right|^{2},
onde \rho é a densidade e \ell(r) é o comprimento de mistura local. Para paredes rugosas e para a região principal do perfil costuma-se usar a forma simples
\ell(r)=\kappa\,(R-r),
onde \kappa é a constante de von Kármán (valor experimental aproximado \kappa\approx 0,40). Esta escolha diz que a mistura cresce linearmente com a distância à parede. Substituindo \tau(r) e isolando dv/dr (lembrando que dv/dr<0 ao aproximar-se da parede), achamos:
\frac{dv}{dr} = -\frac{\sqrt{\tau(r)/\rho}}{\ell(r)}.

Passo 4

Introduzimos a velocidade de fricção (friction velocity) definida por
u_*=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}.
Usando \tau(r)=\tau_w\frac{r}{R} obtemos
\sqrt{\frac{\tau(r)}{\rho}}=u_* \sqrt{\frac{r}{R}}.
Substituindo na expressão para dv/dr com \ell(r)=\kappa(R-r), obtemos
\frac{dv}{dr} = -\frac{u_*}{\kappa}\,\frac{\sqrt{r/R}}{\,R-r\,}.

Passo 5

Integramos a expressão obtida entre o centro ( r=0, velocidade central v(0)=V_{\operatorname{mix}}) e um ponto genérico r (velocidade v(r)=v):
V_{\operatorname{mix}}-v=\int_{0}^{r}\frac{u_*}{\kappa}\,\frac{\sqrt{s/R}}{\,R-s\,}\,ds.
Fazemos a mudança de variável adimensional \xi=\dfrac{s}{R} (então ds=R\,d\xi e o limite superior é \eta=\dfrac{r}{R}). A integral fica
V_{\operatorname{mix}}-v=\frac{u_*}{\kappa}\int_{0}^{\eta}\frac{\sqrt{\xi}}{1-\xi}\,d\xi.

Passo 6

A integral
I(\eta)=\int_{0}^{\eta}\frac{\sqrt{\xi}}{1-\xi}\,d\xi
pode ser avaliada por substituição trigonométrica \xi=\sin^{2}\theta, o que dá (após cálculo detalhado)
I(\eta)=2\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{\eta}}{\sqrt{1-\eta}}\biggr)-2\sqrt{\eta}.
Notamos que a parte divergente quando \eta\to 1 vem do termo -\ln(1-\eta) escondido em \ln\bigl(\sqrt{1-\eta}\bigr). Ou seja, para valores de \eta próximos da parede o termo logarítmico domina. Uma expansão assintótica mostra:
I(\eta) = -\ln(1-\eta)+\text{termos finitos}.
Assim, como aproximação prática (e também porque o comportamento dominante do perfil turbulento é logarítmico), mantemos o termo logarítmico principal e escrevemos
V_{\operatorname{mix}}-v \approx \frac{u_*}{\kappa}\bigl(-\ln(1-\eta)\bigr)=\frac{u_*}{\kappa}\bigl(-\ln\!\bigl(1-\tfrac{r}{R}\bigr)\bigr).
Essa aproximação capta o comportamento logarítmico do perfil e é a base da fórmula pedida.

Passo 7

Agora relacionamos u_* com a velocidade média V usando o fator de atrito \bar{f}. Para o fator de atrito de Darcy a relação entre tensão de parede e velocidade média é
\tau_w=\frac{\bar{f}}{8}\,\rho V^{2},
logo
u_*=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}=V\sqrt{\frac{\bar{f}}{8}}.
Substituindo u_* na expressão aproximada do passo anterior:
\frac{V_{\operatorname{mix}}-v}{V}\approx\frac{1}{\kappa}\sqrt{\frac{\bar{f}}{8}}\;\bigl(-\ln\!\bigl(1-\tfrac{r}{R}\bigr)\bigr).

Passo 8

Finalmente convertemos o logaritmo natural para logaritmo decimal (porque a fórmula final usa \log de base 10). Lembrando que \ln x=2{,}302585\dots\log x, e usando \kappa\approx 0{,}40, fazemos as contas dos coeficientes:
\frac{1}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{8}}\cdot 2{,}302585 \approx 2{,}04.
Portanto obtemos a forma desejada (onde trocamos v por V no denominador conforme o enunciado que normaliza pela velocidade média):
\frac{V_{\operatorname{mix}}-V}{V} \approx -2{,}04\;\log\!\left(1-\frac{r}{R}\right)\cdot\sqrt{\bar{f}}.
Uma observação didática: a derivação exata pelo modelo de comprimento de mistura dá termos adicionais (a integral completa contém termos finitos além do log divergente), mas a dependência logarítmica e o coeficiente numérico principal vêm exatamente do procedimento acima — por isso a expressão aproximada é muito usada em engenharia para descrever o perfil em tubos rugosos.

Resposta

\frac{V_{\operatorname{mix}}-V}{V}=-2{,}04\;\log\!\left(1-\frac{r}{R}\right)\cdot\sqrt{\bar{f}}

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