Informações e símbolos do enunciado que vamos usar:
V é a velocidade média na seção.
R é o raio do tubo.
r é a distância do centro ao ponto onde a velocidade é v.
V_{\operatorname{mix}} é a velocidade no centro do tubo (velocidade máxima, também chamada aqui de velocidade central).
\bar{f} é o fator de atrito médio (friction factor) usado na relação entre a tensão de cisalhamento na parede e a velocidade média.
A tarefa é deduzir a fórmula acima mostrando a dependência logarítmica e obtendo o coeficiente numérico 2,04.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar a tensão de cisalhamento \tau(r) ao raio. Em escoamento totalmente desenvolvido e estacionário em tubo circular, a distribuição de tensões na direção radial satisfaz a relação (resultado do balanço de forças por unidade de comprimento):
\tau(r) = -\frac{r}{2}\frac{dP}{dx},
onde dP/dx é a perda de carga por comprimento (constante para fluxo totalmente desenvolvido). No ponto de parede r=R temos \tau_w = -\dfrac{R}{2}\dfrac{dP}{dx}. Assim:
\tau(r)=\tau_w\frac{r}{R}.
Isto diz: a tensão de cisalhamento varia linearmente com r, zero no centro (r=0) e igual a \tau_w na parede (r=R).
Passo 3
Vamos relacionar a tensão de cisalhamento turbulento com o gradiente de velocidade usando o modelo de comprimento de mistura de Prandtl. A hipótese de Prandtl dá, em módulo,
onde \rho é a densidade e \ell(r) é o comprimento de mistura local. Para paredes rugosas e para a região principal do perfil costuma-se usar a forma simples
\ell(r)=\kappa\,(R-r),
onde \kappa é a constante de von Kármán (valor experimental aproximado \kappa\approx 0,40). Esta escolha diz que a mistura cresce linearmente com a distância à parede. Substituindo \tau(r) e isolando dv/dr (lembrando que dv/dr<0 ao aproximar-se da parede), achamos:
Notamos que a parte divergente quando \eta\to 1 vem do termo -\ln(1-\eta) escondido em \ln\bigl(\sqrt{1-\eta}\bigr). Ou seja, para valores de \eta próximos da parede o termo logarítmico domina. Uma expansão assintótica mostra:
I(\eta) = -\ln(1-\eta)+\text{termos finitos}.
Assim, como aproximação prática (e também porque o comportamento dominante do perfil turbulento é logarítmico), mantemos o termo logarítmico principal e escrevemos
Essa aproximação capta o comportamento logarítmico do perfil e é a base da fórmula pedida.
Passo 7
Agora relacionamos u_* com a velocidade média V usando o fator de atrito \bar{f}. Para o fator de atrito de Darcy a relação entre tensão de parede e velocidade média é
Finalmente convertemos o logaritmo natural para logaritmo decimal (porque a fórmula final usa \log de base 10). Lembrando que \ln x=2{,}302585\dots\log x, e usando \kappa\approx 0{,}40, fazemos as contas dos coeficientes:
Uma observação didática: a derivação exata pelo modelo de comprimento de mistura dá termos adicionais (a integral completa contém termos finitos além do log divergente), mas a dependência logarítmica e o coeficiente numérico principal vêm exatamente do procedimento acima — por isso a expressão aproximada é muito usada em engenharia para descrever o perfil em tubos rugosos.