Sejam e partições do intervalo . Considere a função com . Verifique que as somas de Riemann inferior e somas de Riemann superior barS(g, P) satisfaz
S(g, P1) <= S(g, P2) e barS(g, P1) >= barS(g, P2)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partições, P1 e P2, do intervalo [-1,1]. A função que estamos lidando é g(x) = 12 - x. O objetivo é comparar as somas de Riemann inferiores e superiores dessas duas partições para ver se S(g, P1) <= S(g, P2) e barS(g, P1) >= barS(g, P2). Para isso, vamos precisar entender como calcular as somas de Riemann inferior (S) e superior (barS) para cada partição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as somas de Riemann inferiores e superiores. Para uma dada partição:
Soma de Riemann inferior (S): É a soma dos produtos do menor valor da função em cada subintervalo pelo comprimento do subintervalo.
Soma de Riemann superior (barS): É a soma dos produtos do maior valor da função em cada subintervalo pelo comprimento do subintervalo.
Vamos começar calculando essas somas para a partição P1 = -1, -12, 0, 12, 1.
Passo 3
Para P1, temos os seguintes subintervalos:
[-1, -12]
[-12, 0]
[0, 12]
[12, 1]
Vamos calcular o mínimo e o máximo da função g(x) em cada subintervalo.
1. Subintervalo [-1, -12]:
g(-1) = 12 - (-1) = 13
g(-12) = 12 - (-12) = 12.5 = 25
Mínimo: 13, Máximo: 25
Comprimento: -12 - (-1) = 12
2. Subintervalo [-12, 0]:
g(-12) = 25
g(0) = 12 - 0 = 12
Mínimo: 25, Máximo: 12
Comprimento: 0 - (-12) = 12
3. Subintervalo [0, 12]:
g(0) = 12
g(12) = 12 - 12 = 11.5 = 23
Mínimo: 12, Máximo: 23
Comprimento: 12 - 0 = 12
4. Subintervalo [12, 1]:
g(12) = 23
g(1) = 12 - 1 = 1
Mínimo: 23, Máximo: 1
Comprimento: 1 - 12 = 12
Agora, calculamos as somas:
Soma de Riemann inferior (S(P1)):
S = 13 times 12 + 25 times 12 + 12 times 12 + 23 times 12 = 16 + 15 + 14 + 13
Calculando:
16 + 15 = 5 + 630 = 1130
14 + 13 = 3 + 412 = 712
1130 + 712 = 2260 + 3560 = 5760 = 1920
Soma de Riemann superior (barS(P1)):
barS = 25 times 12 + 12 times 12 + 23 times 12 + 1 times 12 = 15 + 14 + 13 + 12
Calculando:
15 + 14 = 4 + 520 = 920
13 + 12 = 2 + 36 = 56
920 + 56 = 2760 + 5060 = 7760
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a partição P2 = -1, -12, -14, 0, 14, 12, 1.
Os subintervalos são:
[-1, -12]
[-12, -14]
[-14, 0]
[0, 14]
[14, 12]
[12, 1]
Vamos calcular mínimo, máximo e comprimento para cada subintervalo.
1. Subintervalo [-1, -12]:
Mínimo: 13
Máximo: 25
Comprimento: 12
2. Subintervalo [-12, -14]:
g(-12) = 25
g(-14) = 12 - (-14) = 12.25 = 49
Mínimo: 25, Máximo: 49
Comprimento: 14
3. Subintervalo [-14, 0]:
g(-14) = 49
g(0) = 12
Mínimo: 49, Máximo: 12
Comprimento: 14
4. Subintervalo [0, 14]:
g(0) = 12
g(14) = 12 - 14 = 11.75 = 47
Mínimo: 47, Máximo: 12
Comprimento: 14
5. Subintervalo [14, 12]:
g(14) = 47
g(12) = 23
Mínimo: 47, Máximo: 23
Comprimento: 14
6. Subintervalo [12, 1]:
Mínimo: 23
Máximo: 1
Comprimento: 12
Agora, calculamos as somas:
Soma de Riemann inferior (S(P2)):
S = 13 times 12 + 25 times 14 + 49 times 14 + 47 times 14 + 47 times 14 + 23 times 12