Sejam P1=-1,-12, 0, 12, 1 e P2=-1,-12,-14, 0, 14, 12, 1 partições do intervalo [-1,1]. Considere a função g(x)=12-x com x in[-1,1]. Verifique que as somas de Riemann inferior S(g, P) e somas de Riemann superior barS(g, P) satisfaz
S(g, P1) <= S(g, P2) e barS(g, P1) >= barS(g, P2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partições, P1 e P2, do intervalo [-1,1]. A função que estamos lidando é g(x) = 12 - x. O objetivo é comparar as somas de Riemann inferiores e superiores dessas duas partições para ver se S(g, P1) <= S(g, P2) e barS(g, P1) >= barS(g, P2). Para isso, vamos precisar entender como calcular as somas de Riemann inferior ( S) e superior ( barS) para cada partição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as somas de Riemann inferiores e superiores. Para uma dada partição:
  • Soma de Riemann inferior ( S): É a soma dos produtos do menor valor da função em cada subintervalo pelo comprimento do subintervalo.
  • Soma de Riemann superior ( barS): É a soma dos produtos do maior valor da função em cada subintervalo pelo comprimento do subintervalo.
Vamos começar calculando essas somas para a partição P1 = -1, -12, 0, 12, 1.

Passo 3

Para P1, temos os seguintes subintervalos:
  1. [-1, -12]
  2. [-12, 0]
  3. [0, 12]
  4. [12, 1]
Vamos calcular o mínimo e o máximo da função g(x) em cada subintervalo.
1. Subintervalo [-1, -12]:
  • g(-1) = 12 - (-1) = 13
  • g(-12) = 12 - (-12) = 12.5 = 25
  • Mínimo: 13, Máximo: 25
  • Comprimento: -12 - (-1) = 12
2. Subintervalo [-12, 0]:
  • g(-12) = 25
  • g(0) = 12 - 0 = 12
  • Mínimo: 25, Máximo: 12
  • Comprimento: 0 - (-12) = 12
3. Subintervalo [0, 12]:
  • g(0) = 12
  • g(12) = 12 - 12 = 11.5 = 23
  • Mínimo: 12, Máximo: 23
  • Comprimento: 12 - 0 = 12
4. Subintervalo [12, 1]:
  • g(12) = 23
  • g(1) = 12 - 1 = 1
  • Mínimo: 23, Máximo: 1
  • Comprimento: 1 - 12 = 12
Agora, calculamos as somas:
  • Soma de Riemann inferior ( S(P1)):
S = 13 times 12 + 25 times 12 + 12 times 12 + 23 times 12 = 16 + 15 + 14 + 13
Calculando:
16 + 15 = 5 + 630 = 1130
14 + 13 = 3 + 412 = 712
1130 + 712 = 2260 + 3560 = 5760 = 1920
  • Soma de Riemann superior ( barS(P1)):
barS = 25 times 12 + 12 times 12 + 23 times 12 + 1 times 12 = 15 + 14 + 13 + 12
Calculando:
15 + 14 = 4 + 520 = 920
13 + 12 = 2 + 36 = 56
920 + 56 = 2760 + 5060 = 7760

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a partição P2 = -1, -12, -14, 0, 14, 12, 1.
Os subintervalos são:
  1. [-1, -12]
  2. [-12, -14]
  3. [-14, 0]
  4. [0, 14]
  5. [14, 12]
  6. [12, 1]
Vamos calcular mínimo, máximo e comprimento para cada subintervalo.
1. Subintervalo [-1, -12]:
  • Mínimo: 13
  • Máximo: 25
  • Comprimento: 12
2. Subintervalo [-12, -14]:
  • g(-12) = 25
  • g(-14) = 12 - (-14) = 12.25 = 49
  • Mínimo: 25, Máximo: 49
  • Comprimento: 14
3. Subintervalo [-14, 0]:
  • g(-14) = 49
  • g(0) = 12
  • Mínimo: 49, Máximo: 12
  • Comprimento: 14
4. Subintervalo [0, 14]:
  • g(0) = 12
  • g(14) = 12 - 14 = 11.75 = 47
  • Mínimo: 47, Máximo: 12
  • Comprimento: 14
5. Subintervalo [14, 12]:
  • g(14) = 47
  • g(12) = 23
  • Mínimo: 47, Máximo: 23
  • Comprimento: 14
6. Subintervalo [12, 1]:
  • Mínimo: 23
  • Máximo: 1
  • Comprimento: 12
Agora, calculamos as somas:
  • Soma de Riemann inferior ( S(P2)):
S = 13 times 12 + 25 times 14 + 49 times 14 + 47 times 14 + 47 times 14 + 23 times 12
S = 16 + 220 + 436 + 428 + 428 + 26
Simplificando:
S = 16 + 110 + 19 + 17 + 17 + 13
Calculando com denominadores comuns:
S approx 0.1667 + 0.1 + 0.1111 + 0.1429 + 0.1429 + 0.3333 approx 1.0
  • Soma de Riemann superior ( barS(P2)):
barS = 25 times 12 + 49 times 14 + 12 times 14 + 12 times 14 + 23 times 14 + 1 times 12
barS = 210 + 436 + 18 + 18 + 212 + 12
Simplificando:
barS = 15 + 19 + 18 + 18 + 16 + 12
Calculando com denominadores comuns:
barS approx 0.2 + 0.1111 + 0.125 + 0.125 + 0.1667 + 0.5 approx 1.2278

Resposta

Após calcular as somas de Riemann para ambas as partições, observamos que:
S(g, P1) = 1920 = 0.95 <= S(g, P2) approx 1.0
e
barS(g, P1) approx 1.2833 >= barS(g, P2) approx 1.2278
Portanto, as desigualdades S(g, P1) <= S(g, P2) e barS(g, P1) >= barS(g, P2) são verdadeiras.

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