Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
Encontre o volume do sólido limitado pelo cone
entre as placas
e
.
Encontre o volume do sólido limitado pelo cone
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cone
entre as planas
e
. O conteúdo principal é integral tripla para cálculo de volume, usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Vamos precisar conhecer a forma do Jacobiano em cada sistema e como descrever a região nestas coordenadas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
,
,
e o elemento de volume
. A condição
vira
. Como estamos entre
e
, temos:
,
,
. Montamos então
Passo 3
Calculando a integral cilíndrica:
logo
Passo 4
Agora em coordenadas esféricas usamos
,
,
e
. O cone
dá
. As planas
e
viram
e
. Assim
Passo 5
Fazendo
na integral de
, chega-se também em
confirmando o mesmo resultado pelo segundo método.