Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
Encontre o volume do sólido limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 entre as placas z=1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 entre as planas z=1 e z=2. O conteúdo principal é integral tripla para cálculo de volume, usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Vamos precisar conhecer a forma do Jacobiano em cada sistema e como descrever a região nestas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz. A condição z=raizx^2+y^2 vira z=r. Como estamos entre z=1 e z=2, temos: 1<= z<= 2, 0<= r<= z, 0<=theta<= 2pi. Montamos então
V = integraltheta=0^2pi integralz=1^2 integralr=0^z r,dr,dz,dtheta

Passo 3

Calculando a integral cilíndrica:
integralr=0^z r,dr = z^22,
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V = integral0^2pi dtheta integral1^2 z^22,dz = 2pi cdot 12 integral1^2 z^2,dz = pi [z^33]1^2 = pi (83-13) = 7pi3

Passo 4

Agora em coordenadas esféricas usamos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. O cone z=r phi=pi/4. As planas z=1 e z=2 viram rho=1/cosphi e rho=2/cosphi. Assim
V=integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/4!integralrho=1/cosphi^2/cosphi rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Fazendo u=cosphi na integral de phi, chega-se também em
V=7pi3,
confirmando o mesmo resultado pelo segundo método.

Resposta

V=tfrac7pi3

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