Em cada caso, calcule a derivada direcional partial fpartial u.
f(x, y)=x^4-x^2 y^3, P=(2,1), u=i+3 j

Passo 1

Estamos buscando a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor u; o conteúdo é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f e do vetor unitário na direção de u.

Passo 2

Para calcular o gradiente de f, lembramos que
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Derivando f(x,y)=x4−x2y^3, temos
partial fpartial x=4x^3−2xy^3,
partial fpartial y=-3x^2y^2

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(2,1): substituindo x=2 e y=1, dá
nabla f(2,1)=(4cdot2^3−2cdot2cdot1^3,,-3cdot2^2cdot1^2)=(32−4,,-12)=(28,,-12)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção vec u=lang<=1,3rang<=. Primeiro a norma:
|vec u|=raiz1^2+3^2=raiz10
Então
hat u=1raiz10lang<=1,3rang<==l(1raiz10,,3raiz10r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Dvec uf(P)=nabla f(2,1)cdothat u=28cdot1raiz10+(-12)cdot3raiz10=28-36raiz10=-8raiz10

Resposta

-\frac{8}{\sqrt{10}}

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