Uma certa equação diferencial, possui a função de transferência abaixo. Encontre a resposta temporal y(t) quando a entrada u(t) é um impulso.
G(s)=\frac{15(s+1)}{s^{3}+4 s^{2}+4 s}
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
G(s)=\frac{15(s+1)}{s^{3}+4 s^{2}+4 s}
e diz que a entrada u(t) é um impulso. A pergunta é: qual é a resposta temporal y(t) do sistema sob essa entrada? Listei as informações relevantes:
G(s) está dada acima.
A entrada é um impulso (ou seja, u(t)=\delta(t)).
Precisamos encontrar y(t) (a saída no domínio do tempo) resultante dessa entrada.
Passo 2
Primeiro simplificamos o denominador e preparamos uma decomposição em frações parciais para facilitar a transformada inversa de Laplace. Fatoremos o polinômio do denominador:
s^{3}+4s^{2}+4s = s\,(s^{2}+4s+4) = s\,(s+2)^{2}.
Assim podemos escrever
G(s)=\frac{15(s+1)}{s\,(s+2)^{2}}.
Como o denominador tem fatores simples em s e um fator quadrado em (s+2), usamos a forma de frações parciais
Agora usamos as transformadas inversas de Laplace básicas (explico cada uma):
A transformada inversa de \dfrac{1}{s} é a função degrau unitário; em prática, para resposta causal consideramos o valor constante 1 para t\ge 0. Formalmente \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 (para t\ge 0).
A transformada inversa de \dfrac{1}{s+a} é \mathrm{e}^{-a t}: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=\mathrm{e}^{-a t}.
A transformada inversa de \dfrac{1}{(s+a)^{2}} é t\,\mathrm{e}^{-a t}: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+a)^{2}}\}=t\,\mathrm{e}^{-a t}.
Aqui cada termo veio da inversa correspondente: \tfrac{15}{4}\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=\tfrac{15}{4}, -\tfrac{15}{4}\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+2}\}=-\tfrac{15}{4}\mathrm{e}^{-2t}, e \tfrac{15}{2}\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^{2}}\}=\tfrac{15}{2}t\mathrm{e}^{-2t}.
Passo 6
Comentário final curto e incentivo: tá feito — você decompondeu a função, usou transformadas inversas conhecidas e juntou os termos. Se estiver com medo de erros de cálculo, confira as constantes substituindo t=0 (a expressão de y(0^+) dá 0, que é coerente com o sistema representado) e reveja as contas de coeficientes. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica mais alguns exemplos parecidos.