Uma certa equação diferencial, possui a função de transferência abaixo. Encontre a resposta temporal y(t) quando a entrada u(t) é um impulso.
G(s)=\frac{15(s+1)}{s^{3}+4 s^{2}+4 s}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
G(s)=\frac{15(s+1)}{s^{3}+4 s^{2}+4 s}
e diz que a entrada u(t) é um impulso. A pergunta é: qual é a resposta temporal y(t) do sistema sob essa entrada? Listei as informações relevantes:
  • G(s) está dada acima.
  • A entrada é um impulso (ou seja, u(t)=\delta(t)).
  • Precisamos encontrar y(t) (a saída no domínio do tempo) resultante dessa entrada.

Passo 2

Primeiro simplificamos o denominador e preparamos uma decomposição em frações parciais para facilitar a transformada inversa de Laplace. Fatoremos o polinômio do denominador:
s^{3}+4s^{2}+4s = s\,(s^{2}+4s+4) = s\,(s+2)^{2}.
Assim podemos escrever
G(s)=\frac{15(s+1)}{s\,(s+2)^{2}}.
Como o denominador tem fatores simples em s e um fator quadrado em (s+2), usamos a forma de frações parciais
\frac{15(s+1)}{s\,(s+2)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s\,(s+2)^{2} para obter uma igualdade polinomial:
15(s+1)=A(s+2)^{2}+B\,s(s+2)+C\,s.
Expandimos os termos do lado direito. Primeiro
(s+2)^{2}=s^{2}+4s+4,
então
A(s+2)^{2}=A s^{2}+4A s+4A,
e
B\,s(s+2)=B s^{2}+2B s.
Somando tudo:
A s^{2}+4A s+4A + B s^{2}+2B s + C s = (A+B)s^{2} + (4A+2B+C)s + 4A.
Comparando coeficientes com o polinômio à esquerda 15(s+1)=15s+15, obtemos o sistema
\begin{cases} \text{coef. de } s^{2}: & A+B=0,\\[4pt] \text{coef. de } s: & 4A+2B+C=15,\\[4pt] \text{termo constante:} & 4A=15. \end{cases}]

Passo 4

Do último equação 4A=15 segue
A=\frac{15}{4}.
Da primeira equação A+B=0 segue
B=-A=-\frac{15}{4}.
Substituindo A e B na segunda equação para achar C:
4A+2B+C=15 \quad\Rightarrow\quad 4\cdot\frac{15}{4}+2\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)+C=15.
Calculando os termos:
4\cdot\frac{15}{4}=15,\qquad 2\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)=-\frac{15}{2},
então
15-\frac{15}{2}+C=15 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{15}{2}.
Portanto as constantes são
A=\frac{15}{4},\qquad B=-\frac{15}{4},\qquad C=\frac{15}{2}.
A decomposição em frações parciais fica
G(s)=\frac{15/4}{s}-\frac{15/4}{s+2}+\frac{15/2}{(s+2)^{2}}.

Passo 5

Agora usamos as transformadas inversas de Laplace básicas (explico cada uma):
  • A transformada inversa de \dfrac{1}{s} é a função degrau unitário; em prática, para resposta causal consideramos o valor constante 1 para t\ge 0. Formalmente \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 (para t\ge 0).
  • A transformada inversa de \dfrac{1}{s+a} é \mathrm{e}^{-a t}: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=\mathrm{e}^{-a t}.
  • A transformada inversa de \dfrac{1}{(s+a)^{2}} é t\,\mathrm{e}^{-a t}: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+a)^{2}}\}=t\,\mathrm{e}^{-a t}.
Aplicando linearidade termo a termo em
G(s)=\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{15}{2}\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}},
obtemos a resposta no domínio do tempo (para t\ge 0):
y(t)=\frac{15}{4}\cdot 1 -\frac{15}{4}\,\mathrm{e}^{-2t} + \frac{15}{2}\,t\,\mathrm{e}^{-2t}.
Aqui cada termo veio da inversa correspondente: \tfrac{15}{4}\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=\tfrac{15}{4}, -\tfrac{15}{4}\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+2}\}=-\tfrac{15}{4}\mathrm{e}^{-2t}, e \tfrac{15}{2}\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^{2}}\}=\tfrac{15}{2}t\mathrm{e}^{-2t}.

Passo 6

Comentário final curto e incentivo: tá feito — você decompondeu a função, usou transformadas inversas conhecidas e juntou os termos. Se estiver com medo de erros de cálculo, confira as constantes substituindo t=0 (a expressão de y(0^+) 0, que é coerente com o sistema representado) e reveja as contas de coeficientes. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica mais alguns exemplos parecidos.

Resposta

y(t)=\frac{15}{4}-\frac{15}{4}\,\mathrm{e}^{-2t}+\frac{15}{2}\,t\,\mathrm{e}^{-2t}\quad\text{para }t\ge 0

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