Utilizando os dados do Exercício 3 (tempo de espera em minutos):
Tempo (minutos) Frequência
[0,5) 8
[5,10) 15
[10,15) 12
[15, 20) 10
[20,25) 5
a) Calcule o primeiro quartil (Q1) aproximado.
b) Calcule o terceiro quartil (Q3) aproximado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes dados da tabela enviada). As classes de tempo e suas frequências são:
  • Classe [0,5): f_1=8
  • Classe [5,10): f_2=15
  • Classe [10,15): f_3=12
  • Classe [15,20): f_4=10
  • Classe [20,25): f_5=5
O enunciado pede:
a) o primeiro quartil Q_1 aproximado;
b) o terceiro quartil Q_3 aproximado.

Passo 2

Calcular o total de observações N somando todas as frequências (peguei esses números da tabela):
N = 8 + 15 + 12 + 10 + 5 = 50.
Também monto as frequências acumuladas para saber em que classe cada quartil cai:
  • F_1=8
  • F_2=8+15=23
  • F_3=23+12=35
  • F_4=35+10=45
  • F_5=45+5=50

Passo 3

Explicar o método que vou usar (muito usado em provas para dados agrupados): para um quartil Q_k (com k=1 para Q_1 e k=3 para Q_3) a posição desejada é k\cdot N/4. Em seguida faz-se interpolação linear dentro da classe onde essa posição cai.
A fórmula que vou usar é
Q_k = L + \frac{\left(\dfrac{kN}{4} - F_{b}\right)}{f_c}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe que contém o quartil (limite de classe),
  • h é a amplitude (largura) da classe,
  • f_c é a frequência da classe que contém o quartil,
  • F_{b} é a frequência acumulada antes dessa classe (ou seja, soma das frequências das classes anteriores),
  • N é o total de observações,
  • k é 1 para Q_1 e 3 para Q_3.
Observações sobre a fórmula (explicando cada pedaço):
  • \dfrac{kN}{4} dá a posição do quartil na ordenação dos dados.
  • \dfrac{kN}{4}-F_b é quantas observações dentro da classe precisamos avançar para chegar ao quartil.
  • Dividindo por f_c obtemos a fração dessa classe, e multiplicando por h obtemos a distância (em minutos) dentro da classe a partir do limite inferior L.
No nosso caso as classes são todas de amplitude 5 minutos, então h=5.

Passo 4

Posição de Q_1:
\frac{1\cdot N}{4}=\frac{50}{4}=12{,}5.
Procuramos em qual classe a posição 12{,}5 cai: como F_1=8<12{,}5\le F_2=23, o Q_1 está na segunda classe [5,10).
Para essa classe:
  • L=5 (limite inferior da classe [5,10), peguei da tabela),
  • F_b=F_1=8 (acumulada antes da classe),
  • f_c=f_2=15 (frequência da classe),
  • h=5.
Aplicando a fórmula:
Q_1 = 5 + \frac{12{,}5 - 8}{15}\cdot 5.
Calcule passo a passo:
12{,}5 - 8 = 4{,}5,
\frac{4{,}5}{15}=0{,}3,
0{,}3\cdot 5 = 1{,}5.
Portanto
Q_1 = 5 + 1{,}5 = 6{,}5\\ \text{minutos}.

Passo 5

Posição de Q_3:
\frac{3\cdot N}{4}=\frac{3\cdot 50}{4}=37{,}5.
Procuramos em qual classe a posição 37{,}5 cai: F_3=35<37{,}5\le F_4=45, logo Q_3 está na quarta classe [15,20).
Para essa classe:
  • L=15 (limite inferior da classe [15,20), peguei da tabela),
  • F_b=F_3=35,
  • f_c=f_4=10,
  • h=5.
Aplicando a fórmula:
Q_3 = 15 + \frac{37{,}5 - 35}{10}\cdot 5.
Calcule passo a passo:
37{,}5 - 35 = 2{,}5,
\frac{2{,}5}{10}=0{,}25,
0{,}25\cdot 5 = 1{,}25.
Portanto
Q_3 = 15 + 1{,}25 = 16{,}25\\ \text{minutos}.

Passo 6

  • Q_1=6{,}5 faz sentido porque está na segunda classe [5,10) e se posiciona um pouco acima de 5.
  • Q_3=16{,}25 faz sentido porque está na classe [15,20) e é pouco acima de 15.
    Dica rápida para a prova: calcule primeiro N e as acumuladas; identifique a classe do quartil antes de aplicar a fórmula — isso evita erros.

Resposta

Q_1 = 6{,}5\\ \text{min}
Q_3 = 16{,}25\\ \text{min}

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