Considere as idades de 15 participantes de um curso de extensão:
22,25,30,28,35,26,23,27,32,29,26,31,24,33,21
Calcule o percentil 80 (P80).

Passo 1

O enunciado dá as idades de 15 participantes e pede para calcular o percentil 80 (P80). As idades fornecidas são:
22,25,30,28,35,26,23,27,32,29,26,31,24,33,21.
O que se pede:
  • Calcular o valor do P_{80} (o valor tal que aproximadamente 80% das idades são menores ou iguais a ele).

Passo 2

O que é um percentil e como vamos proceder (explicação didática e escolha do método).
  • Definição simples: o percentil P é o valor que separa os dados de modo que aproximadamente P\% das observações ficam abaixo (ou iguais) desse valor. Por exemplo, P_{80} é o valor abaixo do qual estão 80% das observações.
  • Método escolhido (convenção usada aqui): para dados amostrais ordenados usa-se a posição
L=\frac{P}{100}\,(n+1),
onde P é o percentil desejado (aqui P=80) e n é o número de observações. Expliquei isso porque é uma convenção muito usada e faz interpolação entre observações quando a posição não é inteira. Existem outras convenções (por exemplo usar L=\dfrac{P}{100}n), mas a que escolhi costuma ser a que aparece em provas e em estatística básica porque centra bem os percentis dentro do intervalo amostral.

Passo 3

Organizar (ordenar) os dados — passo obrigatório antes de qualquer percentil.
Ordenando as idades em ordem crescente (peguei esses números do enunciado e agora os coloquei em ordem):
21,\;22,\;23,\;24,\;25,\;26,\;26,\;27,\;28,\;29,\;30,\;31,\;32,\;33,\;35.
Aqui temos n=15 observações.

Passo 4

Calcular a posição L do P_{80} usando a fórmula escolhida.
Aplicando
L=\frac{80}{100}\,(15+1).
Primeiro calcule 15+1=16. Em seguida
L=0,8\times16.

Passo 5

Avaliar o produto:
L=0,8\times16=12,8.
Isso significa que o P_{80} está entre a 12ª e a 13ª observação (porque 12<12,8<13), mais precisamente a 12{,}8-ésima posição — portanto vamos interpolar entre a 12ª e a 13ª idades.

Passo 6

Identificar as observações vizinhas na lista ordenada (peguei estes valores da lista que ordenei):
  • A 12ª observação é \,x_{12}=31.
  • A 13ª observação é \,x_{13}=32.

Passo 7

Explicar e aplicar a interpolação linear entre essas duas observações.
Fórmula de interpolação usada:
P_{80}=x_{\lfloor L\rfloor} + (L-\lfloor L\rfloor)\bigl(x_{\lceil L\rceil}-x_{\lfloor L\rfloor}\bigr),
onde \lfloor L\rfloor é a parte inteira de L (aqui 12) e L-\lfloor L\rfloor é a parte fracionária (aqui 0,8). A ideia é pegar a 12ª observação e acrescentar uma fração da diferença entre a 13ª e a 12ª, proporcional à parte decimal de L.

Passo 8

Calcular os termos numéricos da interpolação:
  • Parte fracionária: L-\lfloor L\rfloor=12,8-12=0,8.
  • Diferença entre vizinhas: x_{13}-x_{12}=32-31=1.
  • Multiplicando: 0,8\times1=0,8.
  • Somando a x_{12}: 31+0,8=31,8.
Portanto, pelo método escolhido,
P_{80}=31,8\\ \text{anos}.

Passo 9

Interpretação final e observação sobre convenções.
  • Interpretação: P_{80}=31,8 anos significa que cerca de 80\% dos participantes têm idade menor ou igual a 31,8 anos.
  • Observação de convenção: se alguém usar a outra convenção sem o +1 (ou seja L'=\tfrac{80}{100}\,n=0,8\times15=12), obteria P_{80}=x_{12}=31 anos. Ambas as convenções aparecem em livros; a que usei faz interpolação e dá 31,8 anos. Em provas, verifique qual convenção o enunciado exige; se não disser, a convenção com n+1 é uma escolha bem aceita.

Resposta

\displaystyle P_{80}=31,8\\ \text{anos}

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