Utilizando a definição da derivada, calcule:
$g^{\prime}(0)$ , sendo $g(x)=\frac{2 x+1}{x+3}$ .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de

g(x)=\frac{2x+1}{x+3}

em

x=0

usando a definição de derivada, isto é

g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}.

Passo 2

Primeiro, avaliamos

g(0)=\frac{2\cdot0+1}{0+3}=\frac{1}{3},

e escrevemos o quociente de diferença para

h\neq0

:

\frac{g(h)-g(0)}{h} =\frac{\displaystyle\frac{2h+1}{h+3}-\frac{1}{3}}{h}.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador

\frac{2h+1}{h+3}-\frac{1}{3} =\frac{3(2h+1)-(h+3)}{3(h+3)} =\frac{6h+3-h-3}{3(h+3)} =\frac{5h}{3(h+3)}.

Logo, o quociente de diferença fica

\frac{g(h)-g(0)}{h} =\frac{\displaystyle\frac{5h}{3(h+3)}}{h} =\frac{5}{3(h+3)}.

Passo 4

Tomando o limite quando

h\to0

:

g'(0) =\lim_{h\to0}\frac{5}{3(h+3)} =\frac{5}{3\cdot3} =\frac{5}{9}.

Resposta

g'(0)=\displaystyle\frac{5}{9}

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