Utilizando a definição da derivada, calcule:
$f^{\prime}(2)$ , sendo $f(x)=3 x^{2}-4 x+1$ .

O enunciado pede para calcular

f'(2)

usando a definição da derivada, sendo

f(x)=3x^{2}-4x+1.

Para isso, vamos usar a definição

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

com

a=2

Aplicando a definição em

a=2

, temos

f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.

Calcular

f(2+h)

f(2)

f(2+h)=3(2+h)^{2}-4(2+h)+1 =3(4+4h+h^{2})-8-4h+1 =12+12h+3h^{2}-8-4h+1 =5+8h+3h^{2},

f(2)=3\cdot2^{2}-4\cdot2+1=12-8+1=5.

Formar o quociente de diferença e simplificar:

\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{(5+8h+3h^{2})-5}{h} =\frac{8h+3h^{2}}{h} =8+3h.

Calcular o limite quando

h\to0

f'(2)=\lim_{h\to0}(8+3h)=8.

f'(2)=8

Utilizando a definição da derivada, calcule: f^{\prime}(2), sendo f(x)=3 x^{2}-4 x+1.