Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
y(t)=t e^2 t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ y(t) = t e^{2t} u(t) $. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Onde:
  • $ s $ é uma variável complexa;
  • $ t $ é o tempo;
  • $ u(t) $ é a função degrau unitário, que é 1 para $ t \geq 0 $ e 0 para $ t < 0 $.

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é $ y(t) = t e^{2t} u(t) $. Vamos substituir essa função na definição:
y(t) = t e^2t u(t)
Como $ u(t) = 1 $ para $ t \geq 0 $, podemos simplificar a expressão.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos exponenciais:
e^-st cdot e^2t = e^(2 - s)t
Então, a integral fica:
Lt e^2t = integral0^infty t e^(2 - s)t , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade conhecida da transformada de Laplace. Sabemos que:
Lt e^a t = 1(s - a)^2
Onde $ a $ é uma constante. No nosso caso, $ a = 2 $, então substituindo na fórmula:
a

Resposta

A transformada de Laplace da função $ y(t) = t e^{2t} u(t) $ é:
y(t) = t e^2t u(t)

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