Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ y(t) = t e^{2t} u(t) $. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Onde:
- $ s $ é uma variável complexa;
- $ t $ é o tempo;
- $ u(t) $ é a função degrau unitário, que é 1 para $ t \geq 0 $ e 0 para $ t < 0 $.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é $ y(t) = t e^{2t} u(t) $. Vamos substituir essa função na definição:
Como $ u(t) = 1 $ para $ t \geq 0 $, podemos simplificar a expressão.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade conhecida da transformada de Laplace. Sabemos que:
Onde $ a $ é uma constante. No nosso caso, $ a = 2 $, então substituindo na fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ y(t) = t e^{2t} u(t) $ é: