Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s-1s^2-6 s+34

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra encontrar
f(t)=L^-1F(s) com F(s)=2s-1s^2-6s+34
Estamos trabalhando com transformada inversa de Laplace.
O que vamos precisar:
  • Completar o quadrado no denominador.
  • Reescrever o numerador de forma compatível com as fórmulas de
    e .
  • Usar a tabela básica de transformadas.

Passo 2

Completar o quadrado em s^2 - 6s + 34 = (s^2 - 6s + 9) + 25 = (s-3)^2 + 5^2 .

Passo 3

Reescrever o numerador 2s - 1 = 2(s-3) + 6 - 1 = 2(s-3) + 5 em termos de F(s) = 2(s-3) + 5(s-3)^2 + 5^2 = 2(s-3)(s-3)^2+5^2 ;+; 5(s-3)^2+5^2 .
Note que
Então

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas conhecidas:
  1. .
  2. .
Comparando:
  • é .
  • é , porque .

Passo 5

Somando as duas partes na forma do tempo:
f(t) = 2,e^3tcos(5t) ;+; e^3tsin(5t) = e^3tl(2cos(5t) + sin(5t)r)

Resposta

boxedf(t) = e^3t,l(2cos(5t) + sin(5t)r)

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