Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
x(t)=cos (t) u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ x(t) = \cos(t) \cdot u(t) $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é definida como:
Lx(t) = integral0^+infty x(t) cdot e^-st , dt
Aqui, $ s $ é uma variável complexa e $ u(t) $ é a função degrau de Heaviside, que basicamente garante que a função $ x(t) $ é considerada a partir de $ t = 0 $.

Passo 3

No nosso caso, $ x(t) = \cos(t) \cdot u(t) $. Como $ u(t) $ é 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $, podemos simplificar a nossa integral:
x(t) = cos(t) cdot u(t)
Então, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno. A transformada de Laplace de $ \cos(at) $ é conhecida e dada por:
cos(at)
No nosso caso, $ a = 1 $, então substituímos na fórmula.

Passo 5

Substituindo $ a = 1 $ na fórmula, temos:
a = 1
Essa é a transformada de Laplace da função $ \cos(t) $ multiplicada pelo degrau $ u(t) $.

Resposta

A transformada de Laplace de $ x(t) = \cos(t) \cdot u(t) $ é:
x(t) = cos(t) cdot u(t)

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