Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ x(t) = \cos(t) \cdot u(t) $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é definida como:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa e $ u(t) $ é a função degrau de Heaviside, que basicamente garante que a função $ x(t) $ é considerada a partir de $ t = 0 $.
Passo 3
No nosso caso, $ x(t) = \cos(t) \cdot u(t) $. Como $ u(t) $ é 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $, podemos simplificar a nossa integral:
Então, precisamos calcular essa integral.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno. A transformada de Laplace de $ \cos(at) $ é conhecida e dada por:
No nosso caso, $ a = 1 $, então substituímos na fórmula.
Passo 5
Substituindo $ a = 1 $ na fórmula, temos:
Essa é a transformada de Laplace da função $ \cos(t) $ multiplicada pelo degrau $ u(t) $.
Resposta
A transformada de Laplace de $ x(t) = \cos(t) \cdot u(t) $ é: