Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada usando a definição formal de derivada por limite.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - Deve-se usar a definição por limite (não regras prontas como a “regra do poder” sem justificativa).
Passo 2
Vou escrever a definição formal de derivada que vou usar e explicar cada símbolo. Seja
uma função; a derivada de
no ponto
é definida por
Explicando:
-
é o valor da derivada de no ponto (a inclinação da reta tangente a em ). -
é um incremento pequeno em ; tomamos o limite quando tende a . - A expressão
é o quociente incremental (a variação média de por unidade de variação em ).
Para a derivada existir, esse limite (quando) precisa existir e ser finito.
Passo 3
Identifico
. Vou calcular
:
Agora expando
:
Substituindo:
Passo 4
Calculo a diferença
:
Faço as subtrações termo a termo; os termos
e
se cancelam:
Passo 5
Formo o quociente incremental e simplifico (nessa etapa é importante lembrar que ao dividir por
estamos assumindo
; como depois fazemos limite quando
, isso é válido):
Coloco
em evidência no numerador ou divido cada termo por
:
Passo 6
Agora tomo o limite quando
:
Como
não depende de
e
, temos
Passo 7
Interpretação curta e dica prática para prova: a derivada de
é
porque ao aplicar a definição a potência
o termo
aparece multiplicado pelo coeficiente
. A derivada da constante
é
(porque constantes não mudam quando
varia). Sempre que usar a definição, o passo-chave é expandir
, cancelar termos com
, fatorar
e então avaliar o limite.