Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=3 x^{2}+12;

Passo 1

O enunciado dá a função y=3x^{2}+12 e pede para calcular a derivada usando a definição formal de derivada por limite.
Informações relevantes:
  • A função é y=3x^{2}+12.
  • Deve-se usar a definição por limite (não regras prontas como a “regra do poder” sem justificativa).

Passo 2

Vou escrever a definição formal de derivada que vou usar e explicar cada símbolo. Seja f uma função; a derivada de f no ponto x é definida por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando:
  • f'(x) é o valor da derivada de f no ponto x (a inclinação da reta tangente a f em x).
  • h é um incremento pequeno em x; tomamos o limite quando h tende a 0.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o quociente incremental (a variação média de f por unidade de variação em x).
    Para a derivada existir, esse limite (quando h\to0) precisa existir e ser finito.

Passo 3

Identifico f(x)=3x^{2}+12. Vou calcular f(x+h):
f(x+h)=3(x+h)^{2}+12.
Agora expando (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo:
f(x+h)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+12=3x^{2}+6xh+3h^{2}+12.

Passo 4

Calculo a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=\bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}+12\bigr)-\bigl(3x^{2}+12\bigr).
Faço as subtrações termo a termo; os termos 3x^{2} e 12 se cancelam:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}.

Passo 5

Formo o quociente incremental e simplifico (nessa etapa é importante lembrar que ao dividir por h estamos assumindo h\neq0; como depois fazemos limite quando h\to0, isso é válido):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}}{h}.
Coloco h em evidência no numerador ou divido cada termo por h:
\frac{6xh+3h^{2}}{h}=6x+3h.

Passo 6

Agora tomo o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(6x+3h).
Como 6x não depende de h e \lim_{h\to0}3h=0, temos
f'(x)=6x+0=6x.

Passo 7

Interpretação curta e dica prática para prova: a derivada de 3x^{2} é 6x porque ao aplicar a definição a potência x^{2} o termo 2x aparece multiplicado pelo coeficiente 3. A derivada da constante 12 é 0 (porque constantes não mudam quando x varia). Sempre que usar a definição, o passo-chave é expandir f(x+h), cancelar termos com f(x), fatorar h e então avaliar o limite.

Resposta

\displaystyle y'=6x

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