Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=4-2 x^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição formal de derivada por limite, a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y = 4 - 2x^{2}.
  • O pedido é encontrar a derivada (a função derivada) usando a definição por limite, isto é, sem recorrer diretamente a regras prontas.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de derivada e explicar o que cada coisa significa.
  • Definição (diferença quociente): para uma função f (aqui f(x)=4-2x^{2}), a derivada em x é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • O que cada símbolo representa:
    • f'(x) é a derivada de f no ponto x — a inclinação da reta tangente à curva em x, ou a taxa de variação instantânea de f em x.
    • h é um incremento pequeno em x. A expressão \frac{f(x+h)-f(x)}{h} é a inclinação da reta secante que liga os pontos (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)).
    • Tomamos o limite quando h tende a 0 para transformar a secante em tangente.
  • Intuição simples: a derivada é o quanto y muda quando se dá uma pequena mudança em x, normalizada por essa pequena mudança, e depois fazemos essa mudança tender a zero.
Agora aplicamos essa definição passo a passo à função dada.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h em f(x)=4-2x^{2}.
f(x+h)=4-2(x+h)^{2}.
Expandindo o quadrado (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}, obtemos
f(x+h)=4-2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr).

Passo 4

Distribuir o -2 e simplificar:
f(x+h)=4-2x^{2}-4xh-2h^{2}.
Lembrando que f(x)=4-2x^{2}.
Agora calculemos a diferença f(x+h)-f(x).

Passo 5

Subtrair f(x) de f(x+h):
f(x+h)-f(x)=\bigl(4-2x^{2}-4xh-2h^{2}\bigr)-\bigl(4-2x^{2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes e cancelando 4 e -2x^{2}:
f(x+h)-f(x)=-4xh-2h^{2}.

Passo 6

Formar o quociente incremental \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} e simplificá-lo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-4xh-2h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador ou dividindo termo a termo:
\frac{-4xh-2h^{2}}{h}=-4x-2h.
Aqui foi usado que para h\neq0 podemos dividir por h.

Passo 7

Tomar o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(-4x-2h\bigr).
Como -4x não depende de h e \lim_{h\to0}-2h=0, o limite vale
f'(x)=-4x.
Interpretação: a derivada é uma função que associa a cada x o valor -4x. Por exemplo, a inclinação da reta tangente em x=2 é f'(2)=-4\cdot2=-8 (só um exemplo numérico para fixar a ideia).

Resposta

\,y'=-4x\,

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