Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição formal de derivada por limite, a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - O pedido é encontrar a derivada (a função derivada) usando a definição por limite, isto é, sem recorrer diretamente a regras prontas.
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de derivada e explicar o que cada coisa significa.
- Definição (diferença quociente): para uma função
(aqui ), a derivada em é
- O que cada símbolo representa:
-
é a derivada de no ponto — a inclinação da reta tangente à curva em , ou a taxa de variação instantânea de em . -
é um incremento pequeno em . A expressão é a inclinação da reta secante que liga os pontos e . - Tomamos o limite quando
tende a para transformar a secante em tangente.
-
- Intuição simples: a derivada é o quanto
muda quando se dá uma pequena mudança em , normalizada por essa pequena mudança, e depois fazemos essa mudança tender a zero.
Agora aplicamos essa definição passo a passo à função dada.
Passo 3
Calcular
substituindo
por
em
.
Expandindo o quadrado
, obtemos
Passo 4
Distribuir o
e simplificar:
Lembrando que
.
Agora calculemos a diferença
.
Passo 5
Subtrair
de
:
Agrupando termos semelhantes e cancelando
e
:
Passo 6
Formar o quociente incremental
e simplificá-lo:
Fatorando
no numerador ou dividindo termo a termo:
Aqui foi usado que para
podemos dividir por
.
Passo 7
Tomar o limite quando
:
Como
não depende de
e
, o limite vale
Interpretação: a derivada é uma função que associa a cada
o valor
. Por exemplo, a inclinação da reta tangente em
é
(só um exemplo numérico para fixar a ideia).