Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=8-5 x;

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=8-5x\, e pede para calcular a derivada usando a definição formal por limite.
Informações fornecidas:
  • A função é \,y=8-5x\,.
  • Deve-se usar a definição formal da derivada (por limite) — sem atalhos.

Passo 2

Relembrando a definição formal da derivada (aqui explico passo a passo): se f é uma função, a derivada de f no ponto x é definida por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O que cada coisa significa:
  • f(x) é o valor da função no ponto x.
  • h é um pequeno incremento em x; pensa nele como “um passinho” que vamos fazer para a direita (ou para a esquerda, se for negativo).
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação da função entre x e x+h (a “inclinação” da reta secante).
  • O limite quando h\to0 transforma essa taxa média na taxa instantânea (a inclinação da tangente).
    No nosso caso, vamos aplicar essa fórmula com f(x)=8-5x.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituindo x+h na função:
f(x+h)=8-5(x+h).
Fazendo a distributiva:
f(x+h)=8-5x-5h.

Passo 4

Montar o quociente incremental \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Primeiro escrevo o numerador:
f(x+h)-f(x)=(8-5x-5h)-(8-5x).
Agora simplifico o numerador (observe que 8-5x cancela):
f(x+h)-f(x)=-5h.
Dividindo por h (para h\neq0, o que é legítimo dentro do limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-5h}{h}=-5.

Passo 5

Tomar o limite quando h\to0. Como a expressão obtida é constante em h -5), o limite é simplesmente esse valor:
f'(x)=\lim_{h\to0}-5=-5.
Interpretação prática: a derivada é igual a -5 para todo x. Isto faz sentido intuitivamente porque a função é uma reta de coeficiente angular -5, e a derivada da reta é justamente sua inclinação.

Passo 6

Dica para a prova (resumo prático): para funções lineares da forma \,y=ax+b\,, pelo mesmo cálculo a derivada é constante e vale \,a\,. Aqui a=-5, então a derivada é -5.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-5

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