Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada usando a definição formal por limite.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Deve-se usar a definição formal da derivada (por limite) — sem atalhos.
Passo 2
Relembrando a definição formal da derivada (aqui explico passo a passo): se
é uma função, a derivada de
no ponto
é definida por
O que cada coisa significa:
-
é o valor da função no ponto . -
é um pequeno incremento em ; pensa nele como “um passinho” que vamos fazer para a direita (ou para a esquerda, se for negativo). -
é a taxa média de variação da função entre e (a “inclinação” da reta secante). - O limite quando
transforma essa taxa média na taxa instantânea (a inclinação da tangente).
No nosso caso, vamos aplicar essa fórmula com.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na função:
Fazendo a distributiva:
Passo 4
Montar o quociente incremental
. Primeiro escrevo o numerador:
Agora simplifico o numerador (observe que
cancela):
Dividindo por
(para
, o que é legítimo dentro do limite):
Passo 5
Tomar o limite quando
. Como a expressão obtida é constante em
(é
), o limite é simplesmente esse valor:
Interpretação prática: a derivada é igual a
para todo
. Isto faz sentido intuitivamente porque a função é uma reta de coeficiente angular
, e a derivada da reta é justamente sua inclinação.
Passo 6
Dica para a prova (resumo prático): para funções lineares da forma
, pelo mesmo cálculo a derivada é constante e vale
. Aqui
, então a derivada é
.