Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=7 x+3;

Passo 1

O enunciado dá a função y=7x+3 e pede para calcular a derivada dessa função utilizando a definição formal por limite.
Informações relevantes:
  • A função é y=7x+3.
  • A pergunta é: calcular a derivada de y em função de x usando a definição por limite.

Passo 2

Escrever a definição formal da derivada e explicar o que cada símbolo significa. A derivada de uma função f no ponto x pela definição de limite é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicação dos símbolos:
  • f'(x) é a derivada de f em x, isto é, a taxa instantânea de variação de f em relação a x.
  • h é um incremento pequeno na variável x que tende a 0.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o quociente de variação médio de f quando x aumenta em h.
    No nosso caso, tomamos f(x)=7x+3.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h na função f.
Como f(x)=7x+3, temos
f(x+h)=7(x+h)+3.
Agora desenvolver a expressão:
f(x+h)=7x+7h+3.

Passo 4

Montar o quociente das diferenças e simplificá‑lo passo a passo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(7x+7h+3)-(7x+3)}{h}.
Subtrair termo a termo dentro do numerador:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{7x+7h+3-7x-3}{h}=\frac{7h}{h}.
Simplificar a fração cancelando h (válido para h\neq0):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=7.

Passo 5

Tomar o limite quando h\to0. Como o quociente de diferenças já é igual a 7 para todo h\neq0, o limite é simplesmente 7:
f'(x)=\lim_{h\to0}7=7.
Portanto a derivada é constante e igual a 7 para todo x.

Passo 6

Interpretação e dica de prova: para uma função linear da forma f(x)=ax+b, o procedimento acima mostra que f'(x)=a. Ou seja, a derivada de uma reta é o seu coeficiente angular (a inclinação). Na prova, é bom lembrar que aplicar a definição por limite em linhas retas quase sempre reduz a uma simplificação imediata como a feita acima. Boa — você já consegue fazer isso na prova!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=7

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