Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função utilizando a definição formal por limite.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - A pergunta é: calcular a derivada de
em função de usando a definição por limite.
Passo 2
Escrever a definição formal da derivada e explicar o que cada símbolo significa. A derivada de uma função
no ponto
pela definição de limite é
Explicação dos símbolos:
-
é a derivada de em , isto é, a taxa instantânea de variação de em relação a . -
é um incremento pequeno na variável que tende a . - A expressão
é o quociente de variação médio de quando aumenta em .
No nosso caso, tomamos.
Passo 3
Calcular
substituindo
por
na função
.
Como , temos
Como
Agora desenvolver a expressão:
Passo 4
Montar o quociente das diferenças e simplificá‑lo passo a passo:
Subtrair termo a termo dentro do numerador:
Simplificar a fração cancelando
(válido para
):
Passo 5
Tomar o limite quando
. Como o quociente de diferenças já é igual a
para todo
, o limite é simplesmente
:
Portanto a derivada é constante e igual a
para todo
.
Passo 6
Interpretação e dica de prova: para uma função linear da forma
, o procedimento acima mostra que
. Ou seja, a derivada de uma reta é o seu coeficiente angular (a inclinação). Na prova, é bom lembrar que aplicar a definição por limite em linhas retas quase sempre reduz a uma simplificação imediata como a feita acima. Boa — você já consegue fazer isso na prova!