Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=3 x^{2}-2 x+1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição formal por limite, a derivada da função
y=3x^{2}-2x+1.
Informações relevantes dadas:
  • A função é um polinômio em x: f(x)=3x^{2}-2x+1.
  • Deve-se usar a definição de derivada por limite (ou seja, calcular f'(x) usando o quociente incremental).
  • O objetivo é obter uma expressão para a derivada em função de x (não apenas em um ponto específico).

Passo 2

Apresentar a definição formal de derivada e explicar o que cada símbolo significa.
A definição por limite é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando cada parte:
  • f é a função que derivamos; aqui f(x)=3x^{2}-2x+1.
  • x é o ponto genérico onde queremos a derivada (portanto a derivada será uma função de x).
  • h é um incremento em x; o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} representa a inclinação da reta secante entre x e x+h. Quando h\to0, essa inclinação tende à inclinação da reta tangente em x, que é f'(x).
  • O limite existe para polinômios, então podemos aplicá-lo sem problemas.

Passo 3

Calcular f(x+h) expandindo a função com x substituído por x+h.
Primeiro expando (x+h)^2:
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.
Então
f(x+h)=3(x+h)^2 - 2(x+h) + 1.
Substituindo a expansão:
f(x+h)=3\bigl(x^2+2xh+h^2\bigr)-2x-2h+1.
Distribuindo os fatores:
f(x+h)=3x^2+6xh+3h^2-2x-2h+1.

Passo 4

Formar o numerador do quociente incremental f(x+h)-f(x) e simplificar.
Escrevo f(x) para subtrair:
f(x)=3x^2-2x+1.
Agora a diferença:
f(x+h)-f(x)=\bigl(3x^2+6xh+3h^2-2x-2h+1\bigr)-\bigl(3x^2-2x+1\bigr).
Ao subtrair, termos iguais cancelam: 3x^2 cancela com -3x^2, -2x cancela com +2x, +1 cancela com -1. Restam:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^2-2h.
Coloco h em evidência (fator comum) para preparar a divisão por h:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(6x+3h-2\bigr).

Passo 5

Formar o quociente incremental, simplificar e tomar o limite quando h\to0.
O quociente incremental é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h\bigl(6x+3h-2\bigr)}{h}.
Como h\neq0 no quociente (antes de tomar o limite), podemos simplificar o fator h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x+3h-2.
Agora tomo o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(6x+3h-2\bigr).
Como 6x+3h-2 é uma expressão contínua em h, basta substituir h=0:
f'(x)=6x-2.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: a derivada encontrada significa que a inclinação da reta tangente à curva y=3x^{2}-2x+1 em qualquer ponto x é 6x-2. Como verificação rápida (não usando a definição), aplicando a regra de potência: a derivada de 3x^{2} é 6x, de -2x é -2 e de 1 é 0, obtém-se o mesmo resultado 6x-2. Isso confirma a consistência da conta.

Resposta

y'=6x-2

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