Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição formal por limite, a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é um polinômio em
: . - Deve-se usar a definição de derivada por limite (ou seja, calcular
usando o quociente incremental). - O objetivo é obter uma expressão para a derivada em função de
(não apenas em um ponto específico).
Passo 2
Apresentar a definição formal de derivada e explicar o que cada símbolo significa.
A definição por limite é
Explicando cada parte:
-
é a função que derivamos; aqui . -
é o ponto genérico onde queremos a derivada (portanto a derivada será uma função de ). -
é um incremento em ; o quociente representa a inclinação da reta secante entre e . Quando , essa inclinação tende à inclinação da reta tangente em , que é . - O limite existe para polinômios, então podemos aplicá-lo sem problemas.
Passo 3
Calcular
expandindo a função com
substituído por
.
Primeiro expando
:
Então
Substituindo a expansão:
Distribuindo os fatores:
Passo 4
Formar o numerador do quociente incremental
e simplificar.
Escrevo
para subtrair:
Agora a diferença:
Ao subtrair, termos iguais cancelam:
cancela com
,
cancela com
,
cancela com
. Restam:
Coloco
em evidência (fator comum) para preparar a divisão por
:
Passo 5
Formar o quociente incremental, simplificar e tomar o limite quando
.
O quociente incremental é
Como
no quociente (antes de tomar o limite), podemos simplificar o fator
:
Agora tomo o limite quando
:
Como
é uma expressão contínua em
, basta substituir
:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: a derivada encontrada significa que a inclinação da reta tangente à curva
em qualquer ponto
é
. Como verificação rápida (não usando a definição), aplicando a regra de potência: a derivada de
é
, de
é
e de
é
, obtém-se o mesmo resultado
. Isso confirma a consistência da conta.