1. Utilizando a definição da função gamma
\Gamma(x):=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} d t
e suas propriedades determine
(a) \Gamma\left(\frac{3}{2}\right), \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) e \Gamma(2)
(b) \int_{0}^{+\infty} e^{-3 x} x^{\frac{3}{2}} d x Sugestão: Faça a mudança de variável t=3 x e use a função Gamma

Passo 1

O enunciado pede (a) valores da função Gama em pontos semi-inteiros e inteiros, e (b) uma integral imprópria da forma \int_{0}^{\infty}e^{-3x}x^{3/2}dx. Vamos usar que
\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) e \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\pi} para (a), e na parte (b) faremos a mudança de variável t=3x para transformar a integral em um múltiplo de \Gamma.

Passo 2

Para \Gamma(2) usamos que, para inteiro positivo n, \Gamma(n)=(n-1)!. Assim
\Gamma(2)=1!=1.

Passo 3

Para \Gamma\bigl(\tfrac32\bigr) aplicamos a relação de recorrência com x=\tfrac12:
\Gamma\Bigl(\tfrac32\Bigr)=\tfrac12\,\Gamma\Bigl(\tfrac12\Bigr) =\tfrac12\,\sqrt{\pi} =\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Passo 4

Para \Gamma\bigl(\tfrac{11}2\bigr) descemos em passos de 1 até chegar em \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr):
\Gamma\Bigl(\tfrac{11}2\Bigr) =\frac{9}{2}\,\Gamma\Bigl(\tfrac{9}{2}\Bigr) =\frac{9}{2}\cdot\frac{7}{2}\,\Gamma\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr) =\frac{9\cdot7\cdot5\cdot3\cdot1}{2^5}\,\Gamma\Bigl(\tfrac12\Bigr) =\frac{945}{32}\,\sqrt{\pi}.

Passo 5

Na integral \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-3x}x^{3/2}dx, faça t=3x, de modo que dx=dt/3 e x^{3/2}=(t/3)^{3/2}. Então
\int_{0}^{\infty}e^{-3x}x^{3/2}dx =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\frac{t^{3/2}}{3^{3/2}}\cdot\frac{dt}{3} =\frac{1}{3^{5/2}}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{3/2}dt =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)}{3^{5/2}}.
Como \Gamma\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac{3\sqrt{\pi}}{4}, segue
\int_{0}^{\infty}e^{-3x}x^{3/2}dx =\frac{\tfrac{3\sqrt{\pi}}{4}}{3^{5/2}} =\frac{\sqrt{\pi}}{12\sqrt{3}}.

Resposta

(a) \Gamma\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2},\quad \Gamma\bigl(\tfrac{11}{2}\bigr)=\dfrac{945\sqrt{\pi}}{32},\quad \Gamma(2)=1.
(b) \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-3x}x^{3/2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{12\sqrt{3}}.

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