Calcule as seguintes raízes complexas:
(1+i \sqrt{3})^{\frac{3}{2}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1+i\sqrt{3})^{3/2}. O conteúdo aqui é número complexo elevado a expoente fracionário, então vamos usar a forma polar de um número complexo e a definição multivalorada de potência.

Passo 2

Escrevemos z=1+i\sqrt{3} em forma polar.
O módulo é
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2.
O argumento principal é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr) = \tfrac{\pi}{3}.
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z = 2\,e^{i(\pi/3 + 2\pi k)},\quad k\in\{0,1\}.

Passo 3

Aplicamos a potência fracionária:
z^{3/2} = \bigl(2\,e^{i(\pi/3+2\pi k)}\bigr)^{3/2} =2^{3/2}\,e^{\,i\frac{3}{2}(\pi/3+2\pi k)} =2\sqrt{2}\,e^{\,i(\pi/2+3\pi k)}.

Passo 4

Como k=0,1 geram os dois valores distintos, calculamos cada caso:
Para k=0:
2\sqrt{2}\,e^{i\pi/2} = 2\sqrt{2}\,i.
Para k=1:
2\sqrt{2}\,e^{i(\pi/2+3\pi)} =2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/2} =-2\sqrt{2}\,i.

Resposta

2\sqrt{2}\,i e -2\sqrt{2}\,i

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