Utilizando a definição de limite, mostre que \lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2}-8\right)=10.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x \rightarrow 3}\left(2x^{2}-8\right)=10.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=2x^{2}-8.
  • O ponto em que a variável se aproxima é x=3.
  • A afirmação a ser demonstrada é que o valor-limite é 10.
    O objetivo é: para todo \varepsilon>0 encontrar um \delta>0 (possivelmente dependente de \varepsilon) tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, tenha-se |f(x)-10|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrete da definição \varepsilon- \delta de limite (explicação curta e clara):
  • Dizer que \lim_{x\to 3} f(x)=10 significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se x satisfaz 0<|x-3|<\delta, então |f(x)-10|<\varepsilon.
    Aqui \varepsilon é a “tolerância” no valor da função (quão perto de 10 queremos estar) e \delta é a “tolerância” na variável x (quão perto de 3 devemos ficar). A prova consiste em, dado um \varepsilon>0 arbitrário, escolher um \delta adequado e mostrar que a implicação funciona.

Passo 3

Calculemos a diferença entre f(x) e o candidato a limite 10 e simplifiquemos:
|f(x)-10| = |2x^{2}-8-10|.
Agora simplificando a expressão dentro do módulo:
|2x^{2}-8-10| = |2x^{2}-18| = 2|x^{2}-9|.
Fatorando x^{2}-9 como diferença de quadrados:
2|x^{2}-9| = 2|x-3||x+3|.

Passo 4

Queremos controlar 2|x-3||x+3| por algo proporcional a |x-3|, para poder relacionar com \varepsilon. Para isso é comum garantir que x fique dentro de um intervalo pequeno em torno de 3, por exemplo impondo \delta \le 1. Se 0<|x-3|<1 então
2<x<4,
logo
5<x+3<7,
e portanto
|x+3|\le 7.
Com essa estimativa obtemos
|f(x)-10| = 2|x-3||x+3| \le 2|x-3|\cdot 7 = 14|x-3|.

Passo 5

Agora fazemos a escolha de \delta em função de \varepsilon. Queremos que 14|x-3|<\varepsilon, então basta garantir |x-3|<\dfrac{\varepsilon}{14}. Mas também precisamos da condição |x-3|<1 usada para controlar |x+3|. Portanto escolha
\delta = \min\!\left(1,\; \frac{\varepsilon}{14}\right).
Verificação: seja um \varepsilon>0 dado e tome esse \delta. Se 0<|x-3|<\delta então, em particular, |x-3|<1 (garantindo |x+3|\le 7) e |x-3|<\dfrac{\varepsilon}{14}. Assim, usando a desigualdade do Passo 4,
|f(x)-10| \le 14|x-3| < 14\cdot\frac{\varepsilon}{14} = \varepsilon.
Portanto a condição da definição de limite é satisfeita.

Passo 6

Concluímos que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\min\!\left(1,\dfrac{\varepsilon}{14}\right)>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, tem-se |f(x)-10|<\varepsilon. Isso é exatamente a prova, pela definição \varepsilon- \delta, de que
\lim_{x \rightarrow 3}\left(2x^{2}-8\right)=10.
Boa! Esse é o jeito padrão de tratar limites de polinômios: fatorar, estimar termos que variam pouco perto do ponto e escolher \delta em função de \varepsilon.

Resposta

\lim_{x\rightarrow 3}\left(2x^{2}-8\right)=10

Exercícios relacionados