Utilizando a definição de limite, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto em que a variável se aproxima é
. - A afirmação a ser demonstrada é que o valor-limite é
.
O objetivo é: para todoencontrar um (possivelmente dependente de ) tal que, sempre que , tenha-se .
Passo 2
Lembrete da definição
-
de limite (explicação curta e clara):
- Dizer que
significa: para todo existe tal que, se satisfaz , então .
Aquié a “tolerância” no valor da função (quão perto de queremos estar) e é a “tolerância” na variável (quão perto de devemos ficar). A prova consiste em, dado um arbitrário, escolher um adequado e mostrar que a implicação funciona.
Passo 3
Calculemos a diferença entre
e o candidato a limite
e simplifiquemos:
Agora simplificando a expressão dentro do módulo:
Fatorando
como diferença de quadrados:
Passo 4
Queremos controlar
por algo proporcional a
, para poder relacionar com
. Para isso é comum garantir que
fique dentro de um intervalo pequeno em torno de
, por exemplo impondo
. Se
então
logo
e portanto
Com essa estimativa obtemos
Passo 5
Agora fazemos a escolha de
em função de
. Queremos que
, então basta garantir
. Mas também precisamos da condição
usada para controlar
. Portanto escolha
Verificação: seja um
dado e tome esse
. Se
então, em particular,
(garantindo
) e
. Assim, usando a desigualdade do Passo 4,
Portanto a condição da definição de limite é satisfeita.
Passo 6
Concluímos que para todo
existe
tal que, sempre que
, tem-se
. Isso é exatamente a prova, pela definição
-
, de que
Boa! Esse é o jeito padrão de tratar limites de polinômios: fatorar, estimar termos que variam pouco perto do ponto e escolher
em função de
.