Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar, usando a definição de limite, que quando os valores de
e
se aproximam de
e
respectivamente, a expressão
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite e aplicar algumas propriedades básicas de álgebra.
Passo 2
A definição de limite para funções de duas variáveis diz que
significa que, para qualquer
, existe um
tal que sempre que
, então
. Neste caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao nosso caso específico. Queremos que
, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar um
em termos de
que satisfaça essa desigualdade sempre que
.
Passo 4
Vamos simplificar
. Substituindo
e
, onde
e
são pequenos incrementos em
e
, temos:
Então,
.
Passo 5
Agora, usamos a desigualdade triangular para estimar
:
Sabemos que
, portanto
e
. Substituindo:
Então, temos
.
Passo 6
Para garantir que
, basta que
. Assim, podemos escolher
.
Resposta
Portanto, para todo
, se escolhermos
, então sempre que
, teremos
. Isso prova que: