Utilizando a definição de limite, prove formalmente que: lim (x, y) (1,3) 2 x+5 y-1=16,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar, usando a definição de limite, que quando os valores de e se aproximam de e respectivamente, a expressão se aproxima de . Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite e aplicar algumas propriedades básicas de álgebra.

Passo 2

A definição de limite para funções de duas variáveis diz que significa que, para qualquer , existe um tal que sempre que , então . Neste caso, , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao nosso caso específico. Queremos que , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar um em termos de que satisfaça essa desigualdade sempre que .

Passo 4

Vamos simplificar 2(1 + h) + 5(3 + k) - 17 = 2 + 2h + 15 + 5k - 17 = 2h + 5k . Substituindo e , onde e são pequenos incrementos em e , temos:
Então, .

Passo 5

Agora, usamos a desigualdade triangular para estimar |2h + 5k| <= 2|h| + 5|k| :
2|h| + 5|k| <= 2de
Sabemos que , portanto e . Substituindo:
Então, temos .

Passo 6

Para garantir que , basta que . Assim, podemos escolher .

Resposta

Portanto, para todo lim (x, y) (1,3) 2x + 5y -1 =16 , se escolhermos , então sempre que , teremos . Isso prova que:

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