Utilizando a definição de limite, prove formalmente que: lim (x, y) (-2,1)-x+4 y+4=10,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a função tem limite igual a 10. A gente vai trabalhar com limites de funções de duas variáveis, usando a definição formal de limite para garantir que realmente chega nesse valor quando nos aproximamos do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
significa que para todo , existe um tal que se , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular |f(x, y) - 10| = |-x + 4y + 4 - 10| = |-x + 4y - 6| :
|-x + 4y - 6| < epsilon
Queremos que isso seja menor que . Então:

Passo 4

Vamos manipular a expressão para relacionar com |-(-2 + h) + 4(1 + k) - 6| = |2 - h + 4 + 4k - 6| = |-h + 4k| <= |h| + 4|k| :
Sabemos que |h| + 4|k| < de está se aproximando de , então podemos escrever e , onde e são pequenos incrementos.
Substituindo na expressão:
Como , temos que e . Assim:
Para garantir que , basta que . Ou seja, escolhemos .

Resposta

Portanto, para todo lim (x, y) (-2,1) -x + 4y + 4 = 10 , se escolhermos , sempre que , teremos . Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados