Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de
, a função
tem limite igual a 10. A gente vai trabalhar com limites de funções de duas variáveis, usando a definição formal de limite para garantir que realmente chega nesse valor quando nos aproximamos do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Queremos que isso seja menor que
. Então:
Passo 4
Vamos manipular a expressão para relacionar com
:
Sabemos que
está se aproximando de
, então podemos escrever
e
, onde
e
são pequenos incrementos.
Substituindo na expressão:
Como
, temos que
e
. Assim:
Para garantir que
, basta que
. Ou seja, escolhemos
.
Resposta
Portanto, para todo
, se escolhermos
, sempre que
, teremos
. Assim, mostramos que: