Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000 m^2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma área de descanso retangular com uma área de 5000 m^2 ao lado de uma rodovia movimentada. Só precisamos cercar três lados desse retângulo (os que não estão na rodovia). Nosso objetivo é descobrir qual é o menor comprimento de cerca necessário para essa obra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões do retângulo. Vamos chamar de x o comprimento do lado que está paralelo à rodovia e de y os dois lados que vão de cada lado desse lado paralelo. Como a área é 5000 m^2, temos:
Á

Passo 3

Agora, queremos minimizar o comprimento total da cerca que será usada nos três lados. Como estamos cercando três lados (um lado x e dois lados y), o comprimento total da cerca ( L) é:

Passo 4

Para encontrar o valor mínimo de L, vamos expressar L em termos de uma única variável. Da equação da área, podemos isolar y:
Substituindo isso na equação do comprimento da cerca:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de x que minimiza L. Para isso, vamos derivar L em relação a x e achar onde a derivada é zero. A derivada de L é:

Passo 6

Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar y usando a equação da área:

Passo 8

Com e , vamos calcular o comprimento total da cerca:

Resposta

O menor comprimento de cerca necessário para a obra é de 200 metros.

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