Utilizando a definição de limite, verifique que.
\lim _{x \rightarrow 1}(3 x+2)=5

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar, usando a definição formal de limite (ε–δ), que
\lim_{x\to1}(3x+2)=5.
O que precisamos: dado um \varepsilon>0, achar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, então |(3x+2)-5|<\varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença em valor absoluto:
|(3x+2)-5| = |3x - 3| = 3\,|x-1|.
Para garantir que 3\,|x-1|<\varepsilon, basta pedir
|x-1| < \frac{\varepsilon}{3}.
Logo, basta escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{3}.
Assim, sempre que 0<|x-1|<\delta, temos
|(3x+2)-5| = 3\,|x-1| < 3\,\delta = 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Isso completa a verificação pela definição de limite.

Resposta

\lim_{x\to1}(3x+2) = 5.

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