Utilizando a derivação e/ou integração termo a termo, achar a soma da seguinte série:
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots
e pede achar a soma como função de x. Vou listar claramente o que se pede e o que temos:
  • Pedir: encontrar uma função S(x) tal que
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
  • Informações dadas: os termos da série são \dfrac{x^{2n-1}}{2n-1} para n=1,2,\dots.
  • Também preciso determinar para quais x essa soma faz sentido (domínio de convergência).

Passo 2

Analisar a convergência (raio de convergência) da série de potências.
Escrevo a série com índice m começando em 0 para ficar padrão:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m+1}}{2m+1}.
Use o teste da razão entre termos consecutivos: seja a_m=\dfrac{x^{2m+1}}{2m+1}. Então
\frac{|a_{m+1}|}{|a_m|} =\frac{|x|^{2(m+1)+1}}{2(m+1)+1}\cdot\frac{2m+1}{|x|^{2m+1}} =|x|^{2}\cdot\frac{2m+1}{2m+3}.
Tomando m\to\infty,
\lim_{m\to\infty}\frac{|a_{m+1}|}{|a_m|}=|x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^{2}<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1 e a soma existe para x\in(-1,1). Em x=1 a série é \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1} que diverge; em x=-1 os termos são -\dfrac{1}{2n-1} e também divergem. Assim o domínio de soma é (-1,1).

Passo 3

Estratégia para encontrar a soma: reconhecer que a série é a integral termo a termo de uma série geométrica simples. Considere a série geométrica clássica (com variável t):
\sum_{m=0}^{\infty}t^{2m}=\frac{1}{1-t^{2}}\qquad\text{para }|t|<1,
pois é a soma de uma geométrica com razão t^{2}. Aqui t é uma letra auxiliar de integração que vou usar em seguida.

Passo 4

Integrar termo a termo a série geométrica de t=0 até t=x. Justificativa informal: dentro do raio de convergência ( |x|<1) a série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-a,a] com a<1, então pode-se integrar termo a termo. Integro os dois lados:
\int_{0}^{x}\sum_{m=0}^{\infty}t^{2m}\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt.
Pelo termo-a-termo,
\sum_{m=0}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{2m}\,dt=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m+1}}{2m+1},
que é exatamente a série que queremos.

Passo 5

Calcular a integral do lado direito por decomposição em frações parciais. Primeiro escrevo
\frac{1}{1-t^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right).
Integrando de 0 a x,
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
As integrais são logaritmos:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt=-\ln(1-t)\Big|_{0}^{x}=-\ln(1-x)+\ln(1),
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+t)\Big|_{0}^{x}=\ln(1+x)-\ln(1).
Como \ln(1)=0, somando obtemos
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\big(\ln(1+x)-\ln(1-x)\big).
Usando propriedades dos logaritmos, isso pode ser escrito como
\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Passo 6

Concluir a igualdade entre a soma série e a integral calculada. Reunindo Passo 4 e Passo 5:
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m+1}}{2m+1}=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
válido para todo x\in(-1,1).

Passo 7

Relacionar com uma função conhecida e checar a constante de integração. A função
\operatorname{arctanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
satisfaz \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctanh}(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}} e \operatorname{arctanh}(0)=0. Isso coincide com a integral que obtivemos, então a soma é \operatorname{arctanh}(x). Também verifica-se avaliando em x=0 que ambos lados são zero, portanto não há constante adicional.

Passo 8

Resumo final e observações finais: a série converge para \operatorname{arctanh}(x) (ou \tfrac{1}{2}\ln\!\tfrac{1+x}{1-x}) para |x|<1. Nos extremos x=\pm1 a série diverge.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\operatorname{arctanh}(x),\quad |x|<1.

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