Utilizando a derivação e/ou integração termo a termo, achar a soma da seguinte série: x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^{2}<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1 e a soma existe para x\in(-1,1). Em x=1 a série é \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1} que diverge; em x=-1 os termos são -\dfrac{1}{2n-1} e também divergem. Assim o domínio de soma é (-1,1).
Passo 3
Estratégia para encontrar a soma: reconhecer que a série é a integral termo a termo de uma série geométrica simples. Considere a série geométrica clássica (com variável t):
pois é a soma de uma geométrica com razão t^{2}. Aqui t é uma letra auxiliar de integração que vou usar em seguida.
Passo 4
Integrar termo a termo a série geométrica de t=0 até t=x. Justificativa informal: dentro do raio de convergência (|x|<1) a série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-a,a] com a<1, então pode-se integrar termo a termo. Integro os dois lados:
satisfaz \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctanh}(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}} e \operatorname{arctanh}(0)=0. Isso coincide com a integral que obtivemos, então a soma é \operatorname{arctanh}(x). Também verifica-se avaliando em x=0 que ambos lados são zero, portanto não há constante adicional.
Passo 8
Resumo final e observações finais: a série converge para \operatorname{arctanh}(x) (ou \tfrac{1}{2}\ln\!\tfrac{1+x}{1-x}) para |x|<1. Nos extremos x=\pm1 a série diverge.