O que se pede: determinar o intervalo de convergência (ou seja, todos os x reais para os quais a série converge).
Informações relevantes que temos:
É uma série do tipo \sum_{n\ge1} c_n (x-1)^n com c_n = (-1)^{n+1}\dfrac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}}.
A série é centrada em x=1, então o intervalo de convergência será da forma \bigl(1-R,\,1+R\bigr) possivelmente incluindo/excluindo os extremos, onde R é o raio de convergência.
Passo 2
Estratégia para encontrar o raio R: para séries de potências \sum c_n (x-1)^n usa-se a fórmula
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}}.
Explicando isso rápido e com calma: a razão é que a série converge quando \limsup_{n\to\infty} |c_n||x-1|^n^{1/n}<1, isto é (\limsup |c_n|^{1/n})|x-1|<1; isolando |x-1| obtemos |x-1|<1/\limsup|c_n|^{1/n}, que define o raio R. Vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}. Primeiro escrevemos |c_n| e a sua raiz n-ésima:
temos |a_n|=r_n^{\,n}. Observe que \lim_{n\to\infty} r_n=1, então estamos no caso de fronteira e precisamos de uma expansão assintótica para ver se r_n^{\,n} tende a 0 ou a um número positivo.
Passo 6
Fazer expansão logarítmica para r_n^{\,n}. É útil analisar \ln r_n com a expansão \ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+O(u^3).
Defina u_1=-\dfrac{1}{2n} e u_2=-\dfrac{2}{3n}. Então
Concluir para x=\dfrac{13}{4}: como |a_n|\to e^{1/3}\neq 0, os termos da série não tendem a zero. Toda série cujo termo geral não tende a zero diverge. Assim a série diverge em x=\dfrac{13}{4}.
Passo 8
Analisar o extremo à esquerda x=1-\dfrac{9}{4}=-\dfrac{5}{4}.
Neste caso (x-1)^n=(-9/4)^n. O termo geral torna-se
O fator (-1)^n de (x-1)^n juntando-se a (-1)^{n+1} resulta em um sinal constante:
(-1)^{n+1}\cdot(-1)^n = (-1)^{2n+1}=-1,
portanto a_n é igual a -\,|a_n| onde |a_n| é exatamente o mesmo absoluto que no caso anterior. Logo |a_n| tem a mesma expressão r_n^{\,n} e, pelo cálculo do passo 6, |a_n|\to e^{1/3}\neq 0. Assim os termos também não tendem a zero e a série diverge em x=-\dfrac{5}{4}.
Passo 9
Conclusão final: a série converge para |x-1|<\dfrac{9}{4} e diverge nos dois extremos \,x=1\pm\dfrac{9}{4}.