Determine o intervalo de convergência da série seguinte:
\sum_{n \geq 1}(-1)^{n+1} \frac{(2 n-1)^{2 n}(x-1)^{n}}{(3 n-2)^{2 n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=1:
\sum_{n\ge 1} (-1)^{n+1}\frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}}(x-1)^n.
O que se pede: determinar o intervalo de convergência (ou seja, todos os x reais para os quais a série converge).
Informações relevantes que temos:
  • É uma série do tipo \sum_{n\ge1} c_n (x-1)^n com c_n = (-1)^{n+1}\dfrac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}}.
  • A série é centrada em x=1, então o intervalo de convergência será da forma \bigl(1-R,\,1+R\bigr) possivelmente incluindo/excluindo os extremos, onde R é o raio de convergência.

Passo 2

Estratégia para encontrar o raio R: para séries de potências \sum c_n (x-1)^n usa-se a fórmula
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}}.
Explicando isso rápido e com calma: a razão é que a série converge quando \limsup_{n\to\infty} |c_n||x-1|^n^{1/n}<1, isto é (\limsup |c_n|^{1/n})|x-1|<1; isolando |x-1| obtemos |x-1|<1/\limsup|c_n|^{1/n}, que define o raio R. Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}. Primeiro escrevemos |c_n| e a sua raiz n-ésima:
|c_n|=\frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}},
|c_n|^{1/n}=\left(\frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}}\right)^{1/n}=\left(\frac{2n-1}{3n-2}\right)^{2}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{3n-2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}.
Portanto \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=\dfrac{4}{9}.

Passo 4

Do passo anterior obtemos o raio R:
R=\frac{1}{\dfrac{4}{9}}=\frac{9}{4}.
Logo a série converge (pelo critério do raio) para todos x com
|x-1|<\frac{9}{4}.
Em termos de intervalo centralizado em 1, isso é o intervalo aberto
\left(1-\frac{9}{4},\;1+\frac{9}{4}\right)=\left(-\frac{5}{4},\;\frac{13}{4}\right).
Ainda falta analisar os dois extremos x=1\pm \dfrac{9}{4}.

Passo 5

Analisar o extremo à direita x=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4}.
Substituindo na série, o termo geral fica
a_n = (-1)^{n+1}\frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}}\left(\frac{9}{4}\right)^n.
Agrupando convenientemente:
|a_n|=\left[\left(\frac{2n-1}{3n-2}\right)^{2}\cdot\frac{9}{4}\right]^n.
Simplificando a expressão interior:
\left(\frac{2n-1}{3n-2}\right)^{2}\cdot\frac{9}{4}=\left(\frac{1-\dfrac{1}{2n}}{1-\dfrac{2}{3n}}\right)^{2}.
Denotando
r_n:=\left(\frac{1-\dfrac{1}{2n}}{1-\dfrac{2}{3n}}\right)^{2},
temos |a_n|=r_n^{\,n}. Observe que \lim_{n\to\infty} r_n=1, então estamos no caso de fronteira e precisamos de uma expansão assintótica para ver se r_n^{\,n} tende a 0 ou a um número positivo.

Passo 6

Fazer expansão logarítmica para r_n^{\,n}. É útil analisar \ln r_n com a expansão \ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+O(u^3).
Defina u_1=-\dfrac{1}{2n} e u_2=-\dfrac{2}{3n}. Então
\ln r_n = 2\bigl(\ln(1+u_1)-\ln(1+u_2)\bigr).
Usando as expansões:
\ln(1+u_1)=u_1-\frac{u_1^2}{2}+O(u_1^3),\qquad \ln(1+u_2)=u_2-\frac{u_2^2}{2}+O(u_2^3).
Substituindo e simplificando:
\ln r_n = 2\Bigl((u_1-u_2)-\frac{u_1^2-u_2^2}{2}+O\bigl(\tfrac{1}{n^3}\bigr)\Bigr).
Calcule u_1-u_2 e u_1^2-u_2^2:
u_1-u_2=-\frac{1}{2n}-\biggl(-\frac{2}{3n}\biggr)=\frac{1}{6n},
u_1^2-u_2^2=\frac{1}{4n^2}-\frac{4}{9n^2}=-\frac{7}{36n^2}.
Logo
\ln r_n = 2\left(\frac{1}{6n} -\frac{-7}{72n^2}+O\bigl(\tfrac{1}{n^3}\bigr)\right) = \frac{1}{3n}+\frac{7}{36n^2}+O\bigl(\tfrac{1}{n^3}\bigr).
Multiplicando por n:
n\ln r_n = \frac{1}{3} + O\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Portanto, passando ao exponencial,
|a_n|=r_n^{\,n} = e^{n\ln r_n}\longrightarrow e^{1/3}>0.

Passo 7

Concluir para x=\dfrac{13}{4}: como |a_n|\to e^{1/3}\neq 0, os termos da série não tendem a zero. Toda série cujo termo geral não tende a zero diverge. Assim a série diverge em x=\dfrac{13}{4}.

Passo 8

Analisar o extremo à esquerda x=1-\dfrac{9}{4}=-\dfrac{5}{4}.
Neste caso (x-1)^n=(-9/4)^n. O termo geral torna-se
a_n = (-1)^{n+1}\frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}}\left(-\frac{9}{4}\right)^n.
O fator (-1)^n de (x-1)^n juntando-se a (-1)^{n+1} resulta em um sinal constante:
(-1)^{n+1}\cdot(-1)^n = (-1)^{2n+1}=-1,
portanto a_n é igual a -\,|a_n| onde |a_n| é exatamente o mesmo absoluto que no caso anterior. Logo |a_n| tem a mesma expressão r_n^{\,n} e, pelo cálculo do passo 6, |a_n|\to e^{1/3}\neq 0. Assim os termos também não tendem a zero e a série diverge em x=-\dfrac{5}{4}.

Passo 9

Conclusão final: a série converge para |x-1|<\dfrac{9}{4} e diverge nos dois extremos \,x=1\pm\dfrac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \left(-\tfrac{5}{4},\;\tfrac{13}{4}\right)

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